Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
длинноволновых продольных фоноиов не иначе, как посредством их
взаимодействия с другими фоно-нами сравнимой длины волны. Это можно
увидеть из приве-
184
Р. Пайерлс
денных выше законов сохранения, предполагая, например, что f±- малый
вектор (теперь уже трехмерный). Тогда, поскольку градиент со по / есть
групповая скорость, совпадающая для длинных волн со скоростью звука,
находим
"з ~ ci I fi I ~ ci I /з "" /21 •
Следовательно, /2 и /3 должны представлять два фонов а с почти
одинаковыми волновыми векторами и почти одинаковой частотой, причем
отношение двух разностей равно продольной скорости звука. Это невозможно,
если оба фонона принадлежат одной ветви (оба продольные или-оба
поперечные), поскольку градиент полных частотных кривых меньше продольной
скорости звука для длинных волн. Это невозможно и в том случае, когда /2
и /3 принадлежат разным ветвям, но не малы, так как в противном случае
между частотами двух ветвей существовала бы конечная разность.
Отсюда следует, что длинноволновые продольные фононы имеют среднюю длину
свободного пробега, пропорциональную Я5 или /~5. Поскольку для малых /
число мод, столкновения с которыми возможны, уменьшается в силу того, что
оно пропорционально /2й/, и поскольку коэффициенты связи также стремятся
к нулю (в пределе /=0) мы будем иметь дело с однородным сдвигом решетки,
который, очевидно, не может влиять на динамику. Если же средняя длина
свободного пробега зависит от длины волны так сильно, то
теплопроводность, обусловленная очень длинными волнами, расходится; по
этой же причине интегральное уравнение, обсуждавшееся Пайерлсом, решения
не имеет.
Отсюда Померанчук заключил, что конечный результат можно получить, только
учитывая возможность четырехфонон-ных процессов, например столкновение
двух фононов, при котором последние исчезают и появляются два других. Для
таких процессов всегда существует несколько возможных решений уравнений
сохранения. Однако такие процессы возможны только при условии, что либо
учитываются кубические члены в силах, либо квадратичные члены
рассматриваются во втором порядке теории возмущений. Эти же эффекты
зависят от более высокой степени фононных амплитуд. Кубические члены дают
в интегральное уравнение вклад, пропорциональный Г2, а члены второго
порядка в квадратичных силах приводят к зависимости Г3/2. Поэтому
приходится рассматривать интегральное уравнение, в котором имеются члены
с разной температурной
Квантовая теория твердого тела
185
зависимостью, причем линейные по Т члены играют главную роль, а остальные
необходимы для разрешимости уравнения. Померанчук высказал предположение,
что решение этого уравнения приведет к закону Тили Тъ^ для сопротивления,
в зависимости от того, какие члены учитывать в четырехфонон-ном
взаимодействии - кубические или второго порядка. Экспериментальных данных
о зависимости такого типа в каких-либо реальных кристаллах не существует.
Затем последовал еще один сюрприз. Херринг [31] указал, что в
рассуждениях Померанчука не учитывается то обстоятельство, что во многих
кристаллах нельзя рассматривать высокочастотную (продольную) и
низкочастотную (поперечную) ветви по отдельности, поскольку
соответствующие частотные кривые для некоторых направлений пересекаются
или сливаются. В результате в спектре всегда существуют определенные
точки, в окрестности которых возможен переход с малым изменением частоты.
В кристаллах подобного типа чрезмерно длинные свободные пробеги для
длинноволновых продольных фононов отсутствуют, и мы возвращаемся к закону
Т для сопротивления. Поэтому следует ожидать, что в некоторых кристаллах
будет наблюдаться' этот закон, а в других - более сложная зависимость,
предсказанная Померанчуком.
Насколько известно, это утверждение правильно отражает состояние теории в
настоящее время; однако детальная классификация кристаллов, в которых
должна проявляться та или иная зависимость, а также оценка, величины
проводимости для различных случаев и экспериментальная проверка этих
заключений пока предоставлены будущему.
Тот факт, что такое положение существует сейчас через 34 года после того,
как эту проблему изучал Паули, подтверждает его мнение о том, что это
интересная проблема, а также объясняет, почему первое приближение не
могло сразу раскрыть все существенные особенности ситуации.
Совершенно иные проблемы возникают при переходе к низким температурам,
когда требуется включение квантовых эффектов. Как отмечено Пайерлсом
[29], жизненно важное значение для этой области приобретает структура
решетки. Если кристалл заменяется упругим континуумом, то закон
сохранения волнового вектора будет выполняться без возможного добавления
базисного вектора обратной решетки. Этот закон будет тогда играть такую
же роль, как закон сохранения импульса при столкновении молекул, и сумма
волновых векторов по всем
186
Р. Пайерлс
фононам будет сохраняться так же, как сохраняется полный импульс газа.
