Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
выражения для поля при t- ± сю, их можно использовать для определения
начальных и конечных состояний в процессе рассеяния
= ф1п) (^i)- • • ф1п) (Pi)* • • I 0),
= Tout (К). . . \|&ut (л). • • |0).
Матрица рассеяния Sfi выражается через эти состояния соотношением
5/4 = <^|^> (4.6)
и вычисляется обычными методами.
Описанная методика с тем же успехом переносится и на нелокальные
взаимодействия при условии, что формфактор имеет конечный "радиус" в
указанном выше смысле. Основной вопрос заключается в том, оказывается ли
построенная таким образом теория действительно конечной, т. е. свободной
от расходимостей. Этот вопрос еще не получил окончательного ответа.
Укажем, в частности, что собственные энергии электрона и нуклона в первом
порядке по e2(g2) конечны, но в высших порядках конечность автоматически
не сохраняется. Дополнительные правила, введенные Блохом и обеспечивающие
конечность собственной энергии электрона во всех порядках, нарушают, как
указал Паули [53], условие макроскопической причинности.
В 1953 г. Паули исследовал вопрос об эквивалентности теории с нелокальным
взаимодействием гамильтоновой теории, т. е. вопрос о существовании
канонических переменных. Паули показал сначала в явном виде, как в теории
с нелокальным взаимодействием строятся интегралы движения,
соответствующие полной энергии, полному импульсу и полному заряду. Эти
интегралы содержат переменные поля, взятые в различные момейты времени, и
при обычной схеме квантования это обстоятельство представляет
принципиальную трудность. Здесь необходимо также указать на резкое
различие между "нормальными" и "патологическими" формфакторами. К первому
классу относятся формфакторы, определенные требованием, чтобы уравнения
поля обладали тем же набором решений, что и в отсутствие взаимодействия.
В этом случае для классических уравнений поля канонические переменные
существуют. Ситуация для квантовых полей осложняется необходимостью
соблюдать порядок
8*
116
Ф. Вилларс
операторов, и наличие канонических переменных доказано только в первом
порядке по взаимодействию.
Упомянем, наконец, что даже при введении нормальных формфакторов
возникает проблема градиентной инвариантности, если использовать их в
электродинамике. Хотя градиентную инвариантность можно обеспечить, вводя
в формфактор надлежащие поправки (например, помножая двухточечный
ос'
формфактор F(x - х) на exp [ie^ g??4(s)]), можно задать
ос
вопрос, соответствуют ли эти усложнения всему духу подхода. Как показали
в упоминавшейся выше работе Пайс и Уленбек, градиентную инвариантность в
среднем можно сохранить и без введения дополнительных членов; может
выполняться более слабое условие
f
D
(D - небольшая пространственно-временная область, охватывающая объем, где
сосредоточен формфактор F).
Мы добавим в заключение одно замечание, относящееся к "нормальным" и иным
формфакторам, которое позволит нам перейти к последующим параграфам. Пайс
и Уленбек рассматривали лагранжиан вида
X = у 4>к (- D2) Ф + Q (х) Ф-
В этом случае решающую роль играют число и положение точек А/?, где
функция К (к2) = 0. Если функция К (к2) имеет лишь один нуль в точке М\,
то
К = (-П2 + М1) ^-С2>, где' / - целая функция. Тогда можно произвести
замену ф =.- е-"-а2>/V = ^ frx'F (х - х') ф' {х') .
и, таким образом, лагранжиан
? = уф' (- lH2 + Ml) ф' + е (х) ^ dx'F (х- х') ф'
описывает нелокальное взаимодействие. С другой стороны, , если уравнение
Х = 0 имеет несколько корней то мы приходим к уравнению с мношми массами,
упоминавшемуся в § 2.
Регуляризация в квантовой теории поля
117
Заметим, что подстановкой
f - П (м^уУ^)/2Ф' (4.7)
г>0 %
можно формально получить уравнение для ср' с одной массой. Эта
подстановка приводит к появлению "патологического" формфактора. В
действительности этот подход соответствует исключению дополнительных
степеней свободы в' ср (а именно квантов с массой Мь), что эквивалентно
наложению дополнительных граничных условий на систему в промежутке между
начальным и конечным состояниями. В результате оказывается, что
"усеченная" система не может быть записана в гамильтоновой форме. Вопрос
об использовании подобных усеченных систем недавно рассматривали
Боголюбов [25], Медведев и Поливанов. Привлекательность такого подхода
заключается, естественно, в эффективном обеспечении сходимости -
исключаемые кванты частично имеют отрицательную энергию и соответствующие
знаменатели в (4.7) служат "регуляризаторами". Особая ситуация возникает
в том случае, когда корни М\ уравнения К(-О2) = 0 являются кратными или
все лежат в комплексной плоскости и попарно сопряжены. К этому случаю мы
возвратимся в следующем параграфе.
§ 6. ИНДЕФИНИТНАЯ МЕТРИКА
Понятие индефинитной метрики. Одна из наиболее характерных особенностей
нерелятивистской квантовой теории заключается в описании квантовой
кинематики движением единичного вектора ф в пространстве с унитарной
метрикой (гильбертовом пространстве). При измерении какой-либо величины
