Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
(?2-Hi)(D2 - Ф (*) = Q (ж), (5.4)
динамически эквивалентно комбинации двух полей- <ра и ср^ с
осцилляторными гамильтонианами
Н = 2 + 2 Qkbkbk + \ еф dx, (5.5)
к к
где
Поле ф (х) (при \i2 > р4) определяется разложением
<р й"''2 ""¦- {GrJV+">- (тгУ>*+ ь-*)} ¦
(5.6)
Регуляризация в квантовой теории поля 121?
Отрицательный знак перед вторым членом заставляет ввести индефинитную
метрику для состояний второго осциллятора: [bb+] = -1. В пределе, при
й-и;=д->о
матричный элемент ср, взятый между вакуумом и состояниями а+|0) й Ь+10),
обращается в бесконечность [это видна из (5.6)]. Это заставляет
прибегнуть к другому представлению. Определим операторы Ак и Вк
1/2Ak = ^yh(ak-bk), Y2Bh=(^y/2(ah + bh)
(ek = Qk - coft) и введем их в ф и Н. Тогда предельный переход при е->0
(т. е. при А->0) приведет соответственно-к выражениям
Н 2 (Аьви + В*кАк _ ± J вФdac (5.7>
и
ф = 2 ^(Ак+ A:k) + |(5ft + Blh). (5.8)
k ' к
Не обращаются в нуль коммутаторы [Ah, B+k] = [Bk, A+k] = ^.
В результате получим для свободного гамильтониана Н° два типа
одночастичных состояний:
а) "нормальное" состояние -В?|0) = Фв> удовлетворяющее уравнению
H°tyB = (щ])? (Фв | Фв) - 0;
б) "дипольное" состояние | 0) = фА. Оно вообще не
является собственным состоянием Н° и удовлетворяет уравнению
Я°фА = юфд-^-")г1)в. (5.9)
Его норма также равна нулю, но оно не ортогонально нормальному состоянию:
(фв|фл) - 1- Гейзенберг систематически
использует затем этот дипольный предел. Вследствие (5.9) матричные
элементы ф(ас, I) для состояний фА патологически зависят от времени
<Фа IФ (*" о I °> ~ е~ш о -2Ш^
122
Ф. Вилларс
Гейзенберг указывает, что благодаря этой зависимости все элементы ^-
матрицы между нормальными и дипольными состояниями равны нулю;
следовательно, подматрица ^-матрицы, связывающая только нормальные
состояния, унитарна. В то же время мы получаем менее сингулярную функцию
Грина (/с2+|д,2)"2 в пределе при А->0.
Модель Ли. Эта модель [58] полностью "разрешимой" теории поля сыграла
важную роль в развитии идей, связанных с использованием индефинитной
метрики благодаря поразительному результату, полученному Паули и Челленом
[59] при изучении ее математической структуры. В своей первой работе,
посвященной этой модели (в которой взаимодействие между "нуклонами" N и Г
осуществляется через легкий бозон 0, посредством превращений V ^ N + 0;
реакции N Г + 0 запрещены), Ли уже привел соотношение между
перенормированной и не-перенормированной постоянными связи g и g0:
е2__?о_ ё 1 + riC '
где С - расходящийся интеграл (2У)_1УОтсюда следует,
к
что g = 0 при любом конечном g0. Поэтому Паули и Челлен ввели нуклонный
формфактор /(&), который превращал С в конечную величину С - g'l, откуда
~2 __ Si g\ g '
Заметим, что g < gc при положительных g20. Паули и Челлен, а затем
Гейзенберг, рассмотрели случай, когда g2 положительно, но больше g2, к
которому приводит любое конечное значение g2 в пределе точечного
взаимодействия. В этом случае g2 < 0 и гамильтониан, следовательно,
перестает быть эрмитовым. Это противоречие можно устранить, если ввести
индефинитную метрику, приписав норму (- i)n состоянию с п голыми Г-
частицами. При этом гамильтониан по крайней мере остается
самосопряженным. Как хорошо известно, при g2 > g\ в уравнении для
физической ("одетой") Г-частицы появляется второй дискретный корень,
норма этого "призрачного" состояния оказывается "отрицательной. Процесс
рассеяния
Регуляризация в квантовой теории поля
123
осуществляется с отрицательной вероятностью, и ^-матрица не унитарна.
Единственное исключение возникает в дипольном пределе, когда массы
физической и "призрачной" частиц совпадают. Эта ситуация кратко
обрисована в предыдущем параграфе.
Вопрос этот может иметь не только академический интерес, поскольку в
обычных теориях поля конечность неперенормиро-ванного взаимодействия, по-
видимому, также должна приводить к обращению в нуль эффективной
постоянной связи, и предположение о конечном (экспериментальном) ее
значении может оказаться в противоречии с исходными уравнениями поля.
Челлен [60] и Ландау [61] особенно подчеркивали эту сторону вопроса.
Нелинейная теория Гейзенберга [62]. Недавняя работа Гейзенберга
представляет собой наиболее радикальную попытку разрубить узел,
завязавшийся вокруг проблемы расходимостей и непротиворечивости теории. С
его точки зрения, метод перенормировок следует полностью отбросить. Если
теория (после последовательной перенормировки) в действительности
является конечной, то почему не рассмотреть сразу возможную структуру
перенормированной теории и не представить ее в заведомо конечной форме?
Речь, очевидно, идет о том, какую систему уравнений следует считать
"основной". Швингер, например, сформулировал полностью перенормированную
квантовую теорию поля как систему связанных интегральных уравнений для
бозонной н фермионной функций Грина и вершинного оператора [12]. Но эти
уравнения показывают также, что неперенор-мированные массы и заряд еще не
