Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
направленных к этой цели. Затем мы обсудим значительное число работ,
посвященных самой теореме, и в заключение коснемся еще одной родственной
проблемы (теорема СРТ).
Принцип Паули и группа Лоренца
129
§ 1. РАБОТЫ ПАУЛИ ДО ОТКРЫТИЯ ПОЗИТРОНА
В этот период вышли две большие работы Паули и Гейзенберга [1], которыми,
собственно, и были заложены первые основы систематической теории поля.
Еще раньше, в 1927 г., Дирак [2] первый с успехом применил принципы
квантовой теории к максвелловскому полю и в результате получил первую и
наиболее важную модель теории квантованного поля. В этой теории кванты
поля (фотоны) подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Однако в случае
волнового уравнения для электрона аналогичные методы квантования
приводили к совершенно неудовлетворительным результатам, поскольку при
этом получалось, что электроны тоже подчиняются статистике Бозе -
Эйнштейна.
Затем появились работы Иордана [3] и Иордана и Вигнера [4], в которых
было показано, что при соответствующем изменении перестановочных
соотношений для компонент Фурье данного поля можно получить частицы,
подчиняющиеся принципу запрета. Изменение это заключается в повсеместной
замене, коммутаторов антикоммутаторами. Тем самым формальный аппарат был
развит до такой степени, что появилась возможность поставить вопрос о
связи между трансформационными свойствами поля и статистикой частиц,
вводимых при квантовании.
Особое значение для нас имеет законченная примерно за 6 недель до работы
Иордана и Вигнера статья Иордана и Паули [5], в которой впервые
последовательно проводится требование лоренц-инвариантности и при
квантовании. В заключение для перестановочных соотношений там выводится
уравнение
[FjLtv {х)ч Fат) (у)] = iDjuv, ат] {х у), (1-1)
где
D\xv, алг(&) ~ (gvodpdri §11г\дудо giwdydtj gvr\d^d0) D (?), (1.2)
a
?(6) = (2*)-"$-^sin*i(r).e"<*S> (1.3)
является инвариантной функцией Иордана и Паули; д^ означает д/д^. Эта
функция обладает следующими основными свойствами:
D(-l)=-D(l) (1.4)
9 Заказ № 214
130
Pec Иост
И
[jDiD^g^d^D^ 0. (1.5)
Уравнения (1.4) и (1.5), а также требование, чтобы функция D оставалась
инвариантной относительно собственной группы Лоренца L+1)
D(M) = D(l), Л 614 (1.6)
определяют D с точностью до множителя. Только из свойств (1.4) и (1.6)
следует также
D(l) = 0 для ?2 < 0, (1.7)
т. е. обращение в нуль коммутатора для пространственно-подобных разностей
х - у. [Это следует из того, что L\. преобразует точки гиперболоида ?2 -
- а2 < 0 транзитивно, а инвариантная функция такого преобразования должна
быть постоянной. В силу (1.4) эта постоянная должна быть нулем.] Следует
удивляться, что это последнее утверждение не было достаточно
отмечено в этой работе, хотя в одном из предшествующих томов
того же журнала появилась работа Гейзенберга о соотношении
неопределенностей. Следовательно, интерпретация уравнений
(1.7) и (1.1) в духе этого соотношения представлялась очевидной.
Мы продвинемся теперь несколько дальше в духе цитированной работы и
зададим вопрос, что можно сказать о величине
*
([^|Llv(^)> FОГ\ {у)\)о " ОТ) {Х у)у (1*8)
пользуясь одними соображениями инвариантности. Левая часть этого
выражения означает среднее значение по вакууму. Предполагается (наряду с
существованием вакуума) инвариантность теории относительно собственной
неоднородной группы Лоренца2). Далее имеем
^xv(^)+^v*x(z) = 0, (1.9)
откуда легко получается самое общее выражение для правой
г) L|_ означает преобразование Лоренца, не меняющее направление времени
(ортохронное) и имеющее определитель, равный -j-1 (^оо > 6, Det | |
= 1). -Прим. ред.
2) Мы не будем здесь обсуждать вопрос, имеет ли смысл понятие вакуума в
теории, содержащей частицы с массой, равной нулю.
Принцип Паули и группа Лоренца ,131
части (1.8)
ал (?) - 4" §rM-Tl^v^a g]xo^v^r] ёлп^м^о) А "Ь
"Ь (SfvafiWl 8\m&vл) 4"
4" (fyivaQ^T) 4" CaiiibiQ^v ^aripv^in
) dQC -f- ?pvor\D • (1.10)
При этом Ay By С и D опять представляют собой функции ?, инвариантные
относительно L.|. Но из определения AM/Vjari(S) следует соотношение
Ajliv, ат] (Ю = Дать jbtv ( &)" (1.11)
которое, согласно (1.10), означает, что для функций А, В, С
и D выполняются следующие условия:
Л (-6)=-Л (Б), Я(-6)=-Д(6). Л(-Е)=-Л(&). (1.12)
но
с-( -Б) = СГ(Б). (1.13)
Следовательно, в то время как Ау В 1i D обращаются в нуль для ?2 < 0,
этого утверждать для С нельзя. Этот вывод не удается усилить, даже
учитывая уравнения поля
(r)aF ilxv 4" d^F VG -f* dvF (jjul - 0. (1.14)
Эти уравнения неявно включают D = 0 и [ЦС =0. Маловероятно, чтобы в 1927
г. кто-нибудь вообще принимал всерьез выражение (1.10), поскольку правая
часть содержит смесь тензоров и псевдотензоров 4-го ранга. Таким образом,
члены в правой части по-разному преобразуются при отражении
ТР:\*= -1\ (1.15)
В действительности оказывается весьма разумным потребовать, чтобы
выполнялись уравнения
<[^v( х)> For\( 2/)])о" (ftvW, Рог\{у)\)а', (1.16)
или
Ajuv, ari ( ?) - ^iliv, ari (?)• (1.16а)
