Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пайс
и Уленбек [21], использование уравнения с многими массами
типа (2.6) приводит к индефинитной метрике в гильбертовом
пространстве. В интересах дальнейшего изложения мы кратко покажем, как
можно прийти к этому результату.
Из определения функции Грина Д+(х), например,
Д+ (я) = (01 Ф (х + х') Ф (х') 10) =
= 2 (0! Ф (х + х') | пк) (пк | ф (ж') 10) (2.7)
пк
следует [22], что весовая функция q(jx2) в уравнении (2.2) определяется
соотношением
^ d(x2Q (рх2) 6 (к2 + (X2) = 2 (° I ф (0) | Пк) (пк | (р (0) | 0) (2.8)
П
и, следовательно, не может быть отрицательна. Это противо-
речит условиям (2.4а) и (2.46), если не предполагать, что норма состояний
является индефинитной:
(пк | п'к') = gnn'b {к - /с'),
где gnn/ - эрмитова, неположительная и несингулярная матрица. В этом
случае, очевидно, правую часть уравнения (2.8) следует
Регуляризация в квантовой теории поля
101
заменить выражением
2 gni' (01 Ф (0) I nk) (п'к I Ф (0) I 0), пп'
которое уже не является положительно определенным.
Отсюда следует вывод, что нельзя построить внутренне непротиворечивую
теорию с несингулярными функциями распространения, не затронув обширного
круга новых проблем. Мы упомянем здесь только две из них. Во-первых,
нужно научиться, как поступать с "нефизическими" состояниями, норма
которых неположительна. Пример такой ситуации встретился в работах
Блейлера [23] и Гупты [24], посвященных продольным и скалярным фотонам,
но из него мало что можно было почерпнуть. В этом случае градиентная
инвариантность гарантирует, что нефизические состояния не встретятся при
описании физических явлений. В общем случае подматрица S матрицы
рассеяния S, связывающая только "физические состояния", сама по себе не
будет унитарной. Можно, конечно, искать другие пути физической
интерпретации матричных элементов S, как поступил недавно Боголюбов [25],
но это грозит утратой даже макроскопической причинности [25] и не
может.служить естественным решением проблемы.
Снова следует напомнить, что в 1948-1949 гг. такие мысли еще никому не
приходили в голову. Паули пытался выяснить, как следует обращаться с
неопределенными математическими выражениями, возникавшими при совпадении
особенностей в произведениях функций Грина. Чтобы избежать такого
совпадения, функцию распространения
1
к2-\-М2
следовало заменить выражением, стоящим в левой части соотношения (2.5),
положив Mx= М и т]1= 1 и использовав соотношения (2.46). Этот метод можно
рассматривать просто как предельный процесс, физический результат
определяется как предел при M{(i > 1) -> оо. Описанный прием получил
название "формальной регуляризации" [26].
В этом методе, однако, были свои опасности. Аналогичную схему независимо
предложили Штюкельберг и Ривьер [27]. которые пришли к выводу, что
окончательные результаты, полученные на этом пути (они рассмотрели в
качестве примера магнитный момент нуклонов), еще не являются однозначно
опре-
102
Ф. Вилларс
деленными. Неоднозначности возникали из-за Того, что их выражение для
магнитного момента содержало функции Дх и Д по отдельности; согласно
предложенному ими рецепту, они заменили А соответствующим
регуляризованным выражением. Результат оказался зависящим от способа,
каким М1 стремится к бесконечности.
Аналогичные трудности возникают при рассмотрении поляризации вакуума и
тензора натяжений Т^ фермионного поля. Как у этого тензора, так и у
тензора поляризации
(0 | /ц (.г) | 0) = ^ dx' Kv.v(x - x')Av(x')
дивергенции должны обращаться в нуль, и схема "формальной регуляризации"
отдельных функцией распространения не гарантирует выполнения этих
равенств. В обоих случаях построены удовлетворительные приемы формальной
регуляризации, но они имеют характер псевдофизической теории.
Взаимодействие с вспомогательными (нефизическими) квантами следует
выводить из градиентно-инвариантного лагранжиана, который включает эти
вспомогательные поля. Такой прием позволяет, например, избежать,
появления индивидуально регуляризованных электронных функций Грина
S(r)ip) = У - 1У-Р + Мг ° W'- ±1 ^ р* + М\
г
во всех выражениях, в которые входят виртуальные электрон-но-позитронные
пары. Регуляризуются (как целое) только произведения функций
распространения, отвечающие замкнутым петлям, тогда как функции
распространения, связанные с внешними линиями, не затрагиваются.
Эти факты заставляют поставить вопрос о реальном видоизменении
лагранжиана, т. е. о модификации динамики поля. С этой точки'зрения нет,
конечно, необходимости переходить к пределу М{-> оо для всех масс
"нефизических квантов". Возникает вопрос об экспериментальном
доказательстве отсутствия таких квантов с конечной массой. Этот вопрос
недавно рассматривался Дреллом [28] и его сотрудниками в связи с
предполагавшимися экспериментами в области больших энергий. Оказалось,
что поправки на излучение типа сдвига Лэмба в атоме водорода или
аномального значения g-фактора электрона замечательным образом
нечувствительны к величине вспо-
