Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
тензоров К^, которые уже не связаны аналогичными простыми соотношениями.
Насколько мы помним, Паули был занят в основном поисками модификаций
существующей теории. Он выражал мнение, что коммутаторы полей и функции
Грина для уравнений поля должны быть несингулярными в будущей теории, и
чтобы достичь этого, необходимо в конечном счете отказаться от концепции
точно определенной массы, связанной с данным полем. В качестве временной
меры он предлагал использовать формальную регуляризацию в такой форме,
чтобы придать математический смысл тензору К
Из (3.18) следует, что подстановка
00
AVv (ж; т) -> (х) = ^ 4i2e (ц2) (ж; |Л) (3.21)
о
обеспечит градиентную инвариантность если будут выпол-
нены условия
J d|i*Q (|i8) = О, jjd|iVe(n*) = 0. (3.22)
Представляет интерес вопрос, в какой мере физически наблюдаемые слагаемые
поляризационного тока затрагиваются этой "регуляризацией". Компонента
Фурье тензора К^ строго определяется и, как следует из соображений
градиентной инвариантности и соображений размерности, имеет вид
A"v (р) = {PvPv - />2V) 5 dP2Q (М'2) А () • (3.23)
Поскольку выражение
(PvPv P2&[iv) Av (р) - J\i (р) представляет собой внешний ток, интеграл
К= \ с1ц2д(ц2)К(0)
определяет часть (0| 0), пропорциональную и тем самым
перенормировку заряда. Условия регуляризации (3.22) обращают эту
перенормировку в нуль. Остающиеся члены в- прин-
110 Ф. Вилларс
ципе можно измерить; поскольку они содержат только четные* степени
р2/fi2, введение весовой функции
e(n2) = S(ji2-mD+e'^2)
не затрагивает физических результатов при условии, что q' равно нулю
всюду вне области ц2> ml. Полученный вывод полностью согласуется с
результатами Улинга [38] и Паули и Роуза [39].
Здесь уместно сказать несколько слов о собственной энергии фотона.
Фактическое вычисление К^ из соотношения
(3.16) приводит к следующему выражению:
AVv (р) = (Pixpv - p2\v) к + Imlb^,
где I - неоднозначная постоянная, возникшая из неопределенности в (3.19);
условие градиентной инвариантности обращает ее в нуль. В выражении для
она приводит к появлению дополнительного члена
/бцд, ^ duVe (^2) = х26цу. (3.24)
Болае сильное из условий (3.22) тождественно обращает этот член в нуль.
Если этот член не исключать, то видоизменяется распространение
электромагнитных волн в свободном пространстве. Действительно, из
равенства
(PixPv - P2b)iv) А (р) = - (О I /ц (р) I 0) . и из (3.24) следует, что А^
удовлетворяет уравнению
{(PuPv - Р2^А (1 -г К) + Av = 0. (43.25)
Вопреки градиентной инвариантности (классическому) ^элек-тромагнитному
полю приписан массовый член. В квантованном электромагнитном поле этот
член ведет себя как собственная энергия (или масса) фотона. Условие
регуляризации (3.22) обеспечивает х ее 0; в отсутствие регуляризации
получается неоднозначный результат, зависящий от метода вычисления.
Пример такой ситуации можно найти в работе Вентцеля [45].
Как математический прием, позволяющий обеспечить однозначность
результатов для наблюдаемых величин, изложенный метод уступает более
изящному методу, развитому Швингером [46], который ввел для функции G(x;
х') интегральное пред-
Регуляризация в квантовой теории поля 111
ставление
С (х, х') = - (х I :-----i г- х' ^ =
v ; V I гуя + га- IE J
оо
= - I ^ ds (х | е~is(iYrt+m) | х ^ (3.26)
о
где л -оператор р- еА, написанный здесь в ^-представлении (х I Яц | г') =
( - i -щ- - еА^ ((r))^ 6 (х - х').
Из соотношений (3.14) и
- г'еурбН^ (х) = б (гул + т)
следует, что поляризационный ток можно найти вариацией интеграла действия
^ dx бИ^ (х) (01 /'jn (х) | 0) = i ^ dp Spur (б (гул + ?п) G) =
со
= ^ \ ~7~ \ (r)Риг (,т I 6""is(iYJT+m) | х) = б ^ dx ХА) (х) - бИ^1).
О ч
Плотность лагранжиана ХА) (х) должна быть градиентно-инвариантной. Ее
можно представить в виде интеграла по инвариантному параметру
Все бесконечности связаны с расходимостью этого интеграла на нижнем
пределе; функция Q (х, s) конечна и, будучи градиентно-инвариантной,
представляется через напряженности поля а не через потенциалы АПри
постоянных (или медленно меняющихся) полях ХА) можно вычислить в
замкнутом виде. В этом случае излагаемый метод в точности воспроизводит
давнишние результаты Гейзенберга - Эйлера и Вай-скопфа, но позволяет
выделить в явном виде расходящийся член в ХА), пропорциональный
лагранжиану свободного поля
XW = 1/2(U*-B*):
оо
j?(1> = (^^2 Ч*^*) Х{У) + Конечные члены.
112
Ф. Вилларс
Первый член исключается перенормировкой, т. е. изменением масштаба для
обоих полей и электрического заряда. Для быстро меняющихся полей,
например кулонова поля ядра, WA) можно найти по теории возмущений;
билинейные по полям члены имеют при этом вид
W =~^'^dx dx9 А^ (х) A^v (х - х') Av (х')
В методе Швингера K^v представляется в виде интеграла Фурье по s:
оо
A'ptv (х) = ^ da е~'т2<Ж^ (х; а)<
О
Чтобы сравнить этот результат с результатом применения регуляризации,
запишем регуляризованный тензор Паули
в виде
оо
^jliv = ^ ds R (б*) ^tv (х; 5);
