Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Регуляризация в квантовой теории поля
103
могательных масс Mv если только последние достаточно велики, например
порядка нуклонной массы. Использование регуляри-зованной фотонной функции
распространения
&2 k*+M 1
приводит, например, к уменьшению сдвига Лэмба AEL на величину
где те~ масса электрона и In С = 7,6. Аномальный электронный момент
(а/2п) умножается на величину 2/3(те/М2)2. При М2 порядка нуклонной массы
такое изменение совершенно ничтожно и находится далеко за пределами
точности эксперимента.
В § 3 мы рассмотрим несколько подробнее поляризацию вакуума и собственную
энергию электрона.
Формально ковариантные методы пролили новый свет на свойства отдельной
физической частицы, в том числе на электромагнитные и инерционные
свойства. Уже изучение электромагнитных поправок порядка е2 к
одноэлектронным состояниям позволило получить много интересных сведений,
часть из которых мы приведем в этом параграфе. Сравнительно недавно
Челлен [29] и Швингер [30] более подробно рассмотрели свойства
физического электрона - как собственного состояния взаимодействующих
электрона (позитрона) и электромагнитного поля, не прибегая к теории
возмущений.
Первые ковариантные вычисления собственной энергии электрона (в первом
порядке по е2) были выполнены Швингером
[14] и Фейнманом [15]. Метод Швингера заключался в использовании
ковариантного канонического преобразования, рас-вязывавшего электрон и
поле излучения. Этот прием был хорошо известен и широко использовался в
предшествующие годы, особенно в мезонной теории [31, 32], но большей
частью в форме, не зависящей от времени теории возмущений. Швингер
воспользовался вариантом уравнения Шредингера, предложенным Томонагой
[13]:
1
1
§ 3. СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНА
(3 1)
104
Ф. Вилларс
где о - пространственно-подобная поверхность; 6/6 о(х) - вариация по о
вблизи от точки х. При помощи контактного преобразования eiS(°0 член
ffint исключался и оставалось выражение
содержавшее собственную энергию электрона в приближении е2. Использовав
ковариантный коммутатор и усреднение по вакууму, можно выделить из (3.2)
одноэлектронную часть в виде бягфф, где Ьт - формально инвариантный (не
зависящий от о), но расходящийся интеграл.
Подход Фейнмана был основан на построении функций Грина, описывавших
распространение в пространстве и времени электронного полевого оператора
^>(xt) в присутствии поля излучения. Характерной чертой этого подхода
являлась замена запаздывающих функций распространения классической теории
на так называемые "причинные"- функции Грина SF и Df (для электронно-
позитронного и электромагнитного полей соответственно). Напомним, что SF
(х, t) иDF {х, t) подчиняются граничным условиям, требующим, чтобы при t
> 0 оставались только положительные частоты, а при t < 0 - только
отрицательные. То обстоятельство, что ^и DF выражают условие
"причинности" в квантовой теории поля, подчеркивалось еще Штюкельбергом
[17]; вопрос этот обсуждал также Фирц [33]. Впоследствии Дайсон показал,
что все элементы Sfi матрицы рассеяния для системы взаимодействующих
релятивистских полей можно выразить через причинные функции Грина для
отдельных полей.
Граничные условия для причинной функции Грина учтены в определении
где ф(я)- оператор свободного электронного поля, а |0)- функция состояния
свободного вакуума. При наличии взаимодействия с фотонным полем
соотношение (3.3) определяет функцию Грина Ga$(x,x') физического
электрона, если фиф - гейзенберговы операторы электронного поля, а |0)
определяет состояние "физического" вакуума. Разложение по степеням
взаимодействия выражает G через функции распространения
j[5(a), #1пф')Ь
(3.2)
(0 | \(>а(2:)г|)р (х') | 0) (*><'), ^ ^
- (0|ij3p(x')ij)a(a:)|0> (t<t'),
Регуляризация в квантовой теории поля 105
для голых частиц6V и массовый оператор М = е2М1 + е4М2+...: G(x, z') =
SF(x - x') + ^ SF(x - х") М(х", yf,)G[(y\ х'). (3.4)
Отсюда следует, что G(x, х') удовлетворяет уравнению
х'^ Л - x')==z
= - 6 (x- x').
Одноэлектронные матричные элементы (1 |ф(я:) | 0) должны при этом
подчиняться соответствующему однородному уравнению. В структуре оператора
Мх проще разобраться в импульсном пространстве, где он выражается
следующим образом:
eWi № = (ёт" Sdtk^F {р ~k) ylDp {к)> (3,5)
или
е2М !(р) = А + В (iy- р + т) + (iy • р + т) С (р2) (iy ¦ р + т). (3.6)
Вследствие сингулярности SF и DF постоянные А и В бесконечны.
Электромагнитная масса б т в силу соотношений (*Y' Р + т) Ф (р) - 0
определяется равенством бт = А. Регуляри-зованная фотонная функция
распространения
DP(x) = DF(x) + ^'r]inF(x;Mi) (24= "О (3-7)
г
приводит к конечному выражению для
8т= ~^кт [Ij,Tiiln(-^L) + constJ • (3-8)
г
Введение единственного вспомогательного поля позволяет получить конечное
выражение для б яг, и даже при Мг порядка массы нуклона мы находим, что
6т < т.
Более внимательное изучение проблемы электромагнитной массы привело,
однако, к затруднениям. Пайс и Эпштейн [34] показали, что конечное
