Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
значение собственной массы, полученное в результате любого формально
инвариантного обрезания, не может входить в энергию и импульс физической
частицы, которые преобразуются как четырехмерный вектор. Причина
заключается в отличии от нуля собственного натяжения S. Эта ситуация
хорошо известна по классической проблеме собственной
106
Ф. Вилларс
энергии. (Пайсу принадлежит обзор [35], посвященный этим вопросам.) Для
покоящегося электрона S является средним значением оператора
4
-J ^ dx(^2 ?Vv~ ^44^) = 4 (^Н - т ^ =
=!("-"?)¦ о.")
где Y - тензор энергии-импульса, а Н - гамильтониан системы электрон-
фотон. Из выражения (3.8) нетрудно получить
S = = (3.10)
Рорлих [36] и Вилларс [37] показали впоследствии, что S
обратится в нуль, если "вспомогательным нолям" ср^0, входящим
в функцию распространения фотона, придать физическую реальность и, в
частности, включить их тензор энергии-импульса в Тjuv• Это приводит к
замене (3.9) оператором
1 Г тт дН ' ,, дН \
3 V m dm ZJ Mi dMi )
I
и к следующему выражению для S:
S = ~дщ)
г
которое, как нетрудно показать, обращается в нуль, при использовании
(3.8). (Можно показать, что этот результат не зависит от приближения по
е2, в котором вычислено dm.) Этот факт интересен тем, что он указывает на
неудовлетворительность отождествления бесконечной собственной энергии с
инвариантной добавкой к массе. "Перенормировка" бесконечностей еще не
является гарантией непротиворечивости теории.
§ 4. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
В предыдущем параграфе уже упоминалась проблема поляризации вакуума в
теории позитронов. Мы лишь кратко обрисуем сложившуюся здесь ситуацию с
точки зрения ковариантных методов, созданных после 1946 г. Эти методы
позволили пол-
Регуляризация в квантовой теории поля 107
ностью обосновать конечный результат для эффекта поляризации точечного
заряда, полученный У л ингом [38] и Паули и Роузом [39], а также
нелинейные поправки к уравнениям •Максвелла, найденные Гейзенбергом и
Эйлером [40] и Вайскоп-фом [41] старым вычитательным методом Гейзенберга.
В новом подходе центральную роль играет инвариантная функция Грина
G(x;x') для электронно-позитронного поля
г , ( -г'<°1'Мх)%(ж')1°> (<><')'
Ga?,{x, x') = i _ (3.11)
[ + г(0|Фр(ж')Фа(ж)|0) (t<t'),
где 10) -вектор состояния вакуума. При наличии внешнего классического
поля ^хг(ж) функция G удовлетворяет неоднородному уравнению Дирака
{yh (_-^-ieA)l(x)^ + mjG(x, х')= -6(х-х') (3.12)
и при А^-^0 переходит в обычную функцию Фейнмана SF(x-x').
Из определения G следует, что среднее по вакууму от симметричного
оператора тока
/ц (ж) = - Y (YnW [фа Hi фр (ж)] (3.13)
равно
(01 ;'ц (х) 10) = е Spur (y^G (х, х')) \х.=х, (3.14)
при условии, что предельный переход х' -> х осуществляется симметрично по
двум времениподобным направлениям. Вакуумное среднее (01 /^ | 0> является
нелинейной функцией Aext; линейные члены описывают поляризуемость
вакуума, а члены высших порядков дают нелинейные поправки к уравнениям
электромагнитного поля. Из интегрального уравнения, которому
удовлетворяет G
G (.г, х') = SF {х - х') - ie ^ dx"Sp (х - х") (у • А (х")) G (ж", ж'),
(3.15)
следует, что линейная по А часть вакуумного среднего от тока равна
<° I /|Х (х) 10) = - ге2 ^ dx Spur hvSV(х - х") yxSF (х" - х')}х,=х X
X Ах (х") = \ dxK^x (ж") Ах (х"). (3.16)
*3
108
Ф. Вилларс
Легко видеть, что полученное выражение для К^ не удовлетворяет условию
дКур/дху = 0, необходимому для градиентной инвариантности тока (0|/|0).
Дивергенция K^v оказывается равной
6(ж)• (ЗЛ7>
Выражение справа является неопределенным, поскольку вблизи от точки х = 0
^---S-{!-T-}(S" + Tff)+ •• (3 18)
где X - - = - ас2 + Л2. Таким образом, правая часть (3.17)
отлична от нуля. Однако формальная градиентная инвариантность теории
позволяет надеяться, что при соответствующем подборе непротиворечивого
предельного процесса возникающие неопределенности можно разрешить.
Умедзава и его сотрудники в 1948 г. [42] и Райский в 1949 г. [43] первыми
обнаружили, что вакуумный ток заряженных бозонов с массой т приводит к
выражению для dK^ldxy, которое отличается от соответствующего выражения
для фермионов (3.17) множителем -%. Отсюда следует, что для полного
тензора поляризации
F В
отвечающего набору фермионных и бозонных пар, дивергенция равна
(3.19)
Это выражение тождественно равно нулю в силу (3.18), если выполняются
надлежащие соотношения между числом бозонных (N) и фермионных (М) полей.
Эти соотношения таковы:
N М
N = 2n, 2М! = 2 2>у- (3-20)
1 1
Умедзава и Кавабе [44] обобщили затем этот результат, включив в
рассмотрение векторные мезоны. Сейчас эти соображения имеют только
историчес1$кй интерес, но они замечательны как первая попытка добиться
непротиворечивости лишь формализ-
Регуляризация в квантовой теории поля
ма, охватывающего все поля. Нет оснований думать, что массы бозонов и
фермионов 'действительно связаны соотношением
(3.20); кроме того, не принимались во внимание поправки на излучение для
