Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
некоторого заданного решения при помощи преобразования
Yjx = TYnT~1- (5)
Для построения гамильтониана электрона в электромагнитном поле со
скалярным потенциалом А0 и векторным потенциалом А Дирак прибегает к
обычной подстановке
iPo+(f)A> вместо р0 и (fV вместо р в гамиль-
тониан без поля. Из найденного волнового уравнения получается уравнение
второго порядка, которое отличается от уравнения Гордона наличием двух
членов
+ (6)
где Е и В - векторы электрического и магнитного поля. Компоненты вектора
н представляют собой двухрядные матрицы Паули &х, s , ,sz, повторенные на
главной диагонали так, чтобы образовать четырехрядные матрицы.
Следовательно, электрон должен вести себя так, как если бы он обладал
магнитным моментом, равным (eh/2mc)s, т. е. той величине, которая вво-
Принцип запрета и спин
269
дилась в модели вращающегося электрона. В теории Дирака магнитный момент
не приписывается электрону, а выводится из теории, как идолжно быть.
Дирак показывает затем, что в центральном поле сил векторная сумма
орбитального момента количества движения и спина
М = т + y hs (7)
является интегралом движения. Для уровней энергии в куло-новом поле
теория Дирака дает в первом приближении те же результаты, которые были
получены Паули и Дарвином.
Во второй статье Дирак выводит правила отбора, относительные
интенсивности линий мультиплетов и рассчитывает эффект Зеемана; все
результаты оказываются в согласии с экспериментом и с результатами
существовавших ранее теорий, основанных на гипотезе о вращающемся
электроне.
§ 12. ВРАЩАЮЩИЙСЯ ЭЛЕКТРОН В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Н. Tetrode, Allgemeln-relativistische Quanten-theorie des Elektrons
(Г.Тетроде, Квантовая теория электрона в общей теории относительности),
Zs. f.
Phys., 50, 336 (поступило в редакцию в июне 1928 г.).
Н. W е у 1, Elektron und Gravitation (Г. Вейль,
Электрон и гравитация), Zs. f. Phys., 56, 330 (поступило в редакцию в мае
1929 г.).
В. Фок, Geometrisierung der Diracschen Theorie des Elektrons
(Геометризация теории электрона Дирака), Zs. f. Phys., 57, 261 (поступило
в редакцию в июле 1929 г.).
Е. Schrodinger, D ir ас sches Elektron imSchwe-refeld I (E. Шредингер,
Электрон Дирака в поле тяжести), Sitzber. preuss. Akad. Wiss., 105 (1932)
(доложено в феврале 1932 г.).
V. Bargmann, Bemerkungen zur allgemein-rela-tivistischen Fassung der
Quantentheorie (В.Б аргманн, Замечания об общерелятивистской трактовке
квантовой теории), Sitzber. preuss. Akad. Wiss., 346 (1932) (доложено в
июле 1932 г.).
L. Infeld, В. L. v^n der Waerden,
Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitatstheorie
(Л. Инфельд, Б. Ван дер Варден, Волновое уравнение электрона в общей
теории относительности), Sitzber. preuss. Akad. Wiss.,
380 и 474 (1933) (доложено в январе 1933 г.).
Волновое уравнение для вращающегося электрона можно ввести в общую теорию
относительности тремя методами, раз-
27U
Б. Ван дер Варден
личными с точки зрения математической, но физически эквивалентными: 1)
метод Вейля и Фока использует произвольную ортогональную систему отсчета
(Vierbein) в каждой точке четырехмерного пространства; 2) метод Тетроде,
Шредингера и Баргманна исходит из четырех матриц определенных в каждой
точке и удовлетворяющих обобщенным соотношениям Дирака:
Y^YV + YVY^ = 2g^v; (1)
3) метод Инфельда и Ван дер Вардена основан на применении спинорного
анализа.
Ниже мы будем в основном следовать идеям Вейля и Фока и покажем
эквивалентность различных методов.
В основе первого метода лежит использование четырех нормированных
ортогональных векторов, компоненты которых /г? являются функциями
координат хм-. Условие ортогональности записывается следующим образом:
-1.
2&XAfc=+ 1 (А= 1,2,3),
2ё"ЛИ! = о (кф1).
Число компонент фа волновой функции ф может быть равно двум или четырем.
В любом случае компоненты определены в заданной ортогональной системе
отсчета. Мы исследуем сначала, как должны преобразоваться компоненты ф-
функции при переходе от одной ортогональной системы к другой.
Начнем с плоского мира Минковского, в котором все системы отсчета
параллельны. Координаты х& не обязательно ортогональны и могут даже быть
криволинейными. Уравнение Дирака можно записать в виде
(г 2 + = (2)
О
здесь рк - компонента импульса но вектору hk, а \к - заданные численные
четырехрядные матрицы, удовлетворяющие* соотно-
Принцип запрета и спин
271
шениям коммутации
Yv= -1,
yY'=+1 (*= 1,2,3), (3)
vY + \l\k ~ 0 (l Ф к)-
Заменим набор векторов bh другим набором ортогональных векторов Jij,
связанных с Л,. преобразованием Лоренца:
(4)
Согласно Дираку, волновое уравнение инвариантно относительно
преобразования (4), если только ф преобразуется с помощью линейной
подстановки Т, зависящей только от о
ф' = Тф. (5)
Четырехрядные матрицы Т осуществляют двузначное представление группы
Лоренца (без отражений и обращения времени). Следовательно, в любой
ортогональной системе Jij компоненты ф^ определены по отношению к этой
