Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
данными, полученными из спектров Не и Li+.
Гейзенберг употребляет выражение "спиновые координаты", но не говорит
четко, что он имеет при этом в виду. Он рассматривает сначала*унрощенную
модель двух электронов без орби-
Принцип запрета и спин
255
тального движения в постоянном магнитном поле. В этом простом случае
спиновые координаты представляют собой просто составляющую момента
количества движения по полю. К случаю атома Гейзенберг переходит при
помощи аналогии, заменяя вектор внешнего поля вектором орбитального
момента.
Первое точное определение понятия "спиновых координат" дал Паули. Мы
рассмотрим теперь теорию спина Паули.
§ 8. ВЕКТОР СПИНА s И СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ slf *2,
W. Heisenberg, P. Jordan, Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem
der anomalen Zeemaneffekte (В. Гейзенберг, П. Иордан, Приложение
квантовой механики к задаче об аномальном эффекте Зеемана), Zs. f. Phys.,
37, 2^63 (поступило в редакцию в марте 1926 г.).
W. Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektronen (В. Паули, О
квантовомеханическом описании магнитного электрона), Zs. f. Phys., 43,
601 (поступило в редакцию в мае 1927 г.).
Гейзенберг и Иордан первыми рассчитали дублетное расщепление и аномальный
эффект Зеемана в атомах с одним валентным электроном методами матричной
механики. В дополнение
к вектору орбитального момента к с компонентами К ={VPt-zPy) и т. д.
авторы ввели спиновый вектор $ с компонентами sx, sy, sz.
Следуя Паули, мы будем употреблять полужирный шрифт
для матриц и операторов. По аналогии с соотношениями коммутации для кх,
ку, kz:
^ у Wx ^ 2л ) ^ ^ '
вводятся такие же соотношения для sx, 8и, sz:
#,*°"-ву**==*('5г)в* ИТ-Д> (1)
а также соотношения
*2 = 4 + в* + 4 = ( JL у s (if +1), (2)
где s=1/2 для одного электрона. Предполагается, что взаимодействие между
к и s описываются слагаемым в энергии, про-
256
Б, Ван дер Варден
порциональным к- s. Энергия взаимодействия с внешним полем Я записывается
в виде
Исходя из этих предположений, Гейзенберг и Иордан методом теории
возмущений рассчитывают термы. Результаты оказываются в идеальном
согласии с данными эксперимента.
Паули заменяет матрицы sx... операторами, действующими на шредингеровы
волновые функции ф и удовлетворяющими тем же соотношениям (1) и (2). Если
sx, sy9 sz выражать в единицах 1/2(/г/2л), то эти соотношения запишутся в
виде
sxsy-sysx = 2isz (3)
s%+sl + sl = 3. (4)
Основной трудностью для Паули было определение коор-динат, функцией
которых являлась ф. В дополнение к пространственным координатам q Паули
берет ^-координату, принимающую значения ±1 независимо от направления оси
z. Это означает, что функция ф (<М2) имеет две компоненты: фа(#) и фр(7),
соответствующие sz = -j-l и sz =-1. Вероятность того, что координаты q
лежат в интервале от х до x-\-dx, от у
до y-\-dy и от ? до z-\-dz и при этом sz принимает значения +1
или -1, равна
|фа(я, у, z)\2 dxdy dz или |фр(я, у, z)\2dxdydz.
Простейшее решение уравнений (3) и (4) таково:
(Фа, Фз) = (%. Фа), sv ('Фа, Фз) = ( - гфр, гфа), "2(Фа, Фз) = (Фа, -Фэ)-
Матрицами этих преобразований являются знаменитые матрицы Паули
Для перехода к новой системе координат (а/, у\ z9) Паули предлагает
следующие формулы:
Фа = *пФа + *12Фз,
Фз = ^2гФа Н- ^2гФз>
Принцип запрета и спин
257
где Т (составленная из ti3) матрица, являющаяся унитарной матрицей, т. е.
произведение Т на траспонированную и комплексно-сопряженную матрицу 1^
равно единичной матрице 1, и
sX' = T8xirl, sy, = TsyT~\ 8Х' = Т8гТ-'. (7)
->
С другой стороны, sx, sy, sz являются комподентами вектора 8 и,
следовательно, должны преобразовываться, подобно координатам х, у, z, при
помощи ортогональной подстановки
sx " ailSxfJTai2,Sy' + (8)
Паули показывает, что можно совместить (7) и (8) , если в качестве Т
взять матрицу, составленную из величин а*, (3*, у*, б*, комплексно-
сопряженных к параметрам Кэли - Клейна ортогонального преобразования (8),
определенным в книге Зоммерфельда и Клейна [15]. Паули замечает также,
что вре решения уравнений (3) и (4) можно получить из частного решения
(5) при помощи преобразований (7). Следовательно, можно без потери
общности пользоваться частным решением (5).
¦-> ->*
Для энергии взаимодействия между s и к и для энергии электрона в
магнитном поле Паули берет те же выражения, что и Гейзенберг и Иордан.
Результаты, естественно, оказываются совпадающими. Переход к общему
случаю N электронов выполняется непосредственно. Волновая функция ф(^1,
..., qN, szi, ..., szn) эквивалентна набору 2^ функций пространственных
координат
^ЙА ...iN (9v ¦¦¦> 9n), ift = "к или pft.
Несмотря на полученные им в высшей степени хорошие результаты, Паули
считал свою теорию лишь временной и приближенной, поскольку, как он
заявлял, волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований
Лоренца и не дает возможности вычислить поправки высших порядков к тонкой
структуре водородных термов. Он чувствовал, что для разрешения этих
