Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
две другие - действительными, и, следовательно, х, у, z и t будут
действительными величинами.
Рассмотрим теперь линейное преобразование величин А и независимо линейное
преобразование величин р с определителями, в обоих случаях равными
единице. Если подействовать этой парой преобразований на А и р в правой
части (4), то хк тоже подвергнутся некоторому линейному преобразованию,
которое переведет поверхность (3) в себя. Если мы хотим получить
действительное преобразование х, г/, z, t, то нужно позаботиться, чтобы
действительные точки поверхности перешли в действительные, и,
следовательно, преобразование для величин X должно быть
комплексносопряжено к преобразованию для р. Чтобы указать на это, будем
отмечать индексы у X точкой. Тогда упомянутые преобразования запишутся в
виде
(3)
ж1 = Я2р1, ж3 = А1р1,
х2~Х1\)Р, х4 = А2р2.
(4)
Р Р
Возникающее при этом действительное преобразование х, у, z, t не только
переводит световой конус (1) в себя, но остав-
Принцип запрета и спин
275
ляет неизменной квадратичную форму
+ У2 + з2 - с2^2
и не меняет местами прошлое и будущее, т. е. оно представляет собой
преобразование Лоренца. Чтобы доказать это, пересечем поверхность (4)
плоскостью
2^ = 0. (6)
След пересечения описывается уравнением
ыху н- ь2ху + ьзху + = 0
или
1'де
bl = X + iY=b. ,
21
Ь2 = Х-гУ = 6. ,
12
b3 = cT + Z = b. ,
11'
64 = c7,-Z = b. .
22
Если плоскость (6) действительна, т. е. если координаты X, У, Z, Т
вектора Ьк в исходной системе координат действительны, то из (8) следует,
что величины Ь]\ и Ъ22 действительны, а величины Ъ2\ и Ь) 2 комплексно
сопряжены, т. е. билинейная форма (7) эрмитова. Отсюда следует, что
действительные векторы bk и эрмитовы билинейные формы находятся во
взаимно однозначном соответствии и это соответствие инвариантно
относительно преобразований (5). Детерминант билинейной формы
D=b. b. -Ь. b. - -X2-y2-Z2 + c2712 (9)
И 22 21 12 w
является инвариантом по отношению к преобразованиям (5) и, следовательно,
соответствующее преобразование X, У, Z, Т оставляет квадратичную форму
инвариантной. Положительные значения эрмитовых форм соответствуют
векторам, направленным в будущее внутри светового конуса, и потому наши
преобразования не меняют местами прошлое и будущее. Простой подсчет
показывает, что их определитель равен еди-
18*
276 Б. Ван дер Варден
нице и они, следовательно, являются собственными преобразованиями
Лоренца.
Произведению преобразований (5) соответствует, конечно, произведение
соответствующих преобразований Лоренца. Если
обе матрицы (е$) и (е?) умножить на -1, то это не затронет пре-
образования Лоренца. Матрицы (ер) [а также комплексно-сопряженные матрицы
(еа.)] осуществляют двузначное представ-
тт Р
ление группы Лоренца.
В моей работе "Спинорный анализ" я исходил из соотношений (8), не
объясняя, откуда они берутся. Моей первоначальной исходной точкой была
геометрия прямых линий на поверхности второго порядка.
Начиная отсюда и далее, мы будем обозначать через bk и bk ковариантные и
контравариантные компоненты любого вектора в исходной системе координат
(х, у, z, ct). Индекс 0 соответствует координате ct, а индексы 1, 2, 3 -
координатам х, у, z. По определению
Ь0=-Ь°, Ьк=Ьк (*=1,2,3),
и полагая, согласно (8), X = b1, Y =zb2, Z -Ьв и ct - b°, получаем
+ 6. , b° + b*=:b. ,
21 11
&1-?Ь* = Ь. , Ъ° - Ъ3-=Ъ. . ^
12 22
Спинор можно определить теперь как набор коэффициентов произвольной формы
от любого числа бинарных переменных, которые преобразуются как № или |А
Например, если форма линейна по № и квадратична по цР:
,_SVVV.
то мы получим спинор , симметричный по (3 и у. Коэффициенты линейной
формы
2 Ь. Ха или 2
а -
Принцип запрета и спин 277
образуют спин-вектор Ъ. или Ьа. Индекс а или а всегда принимает значения
1 или 2 (соответственно i или 2).
Каждому мировому вектору bk или bk соответствует, согласно (10), спинор
Ь. . Аналогично, тензору thk соответствуем спинор
ар
Ъ. . И Т. Д.
ар, уб
Чтобы образовать инварианты из спиноров, введем величину е"Р = еаР:
е12=1, е21=-1, е11 = е22-0.
Из теории инвариантов известно, что каждый инвариант составленный из
нескольких спиноров, получается путем умножения символов е на
произведение спиноров и суммирования по каждому индексу, который
встречается один раз внизу и один раз наверху. Например,
2Ъ. =2 (Ъ. Ъ. -Ь. Ъ. ).
^ ар уб 4 11 22 12. 21
Формулы можно сократить, введя определение
Инвариант (11) можно тогда записать в виде
2?=2 6. Ь"р.
ар
Из (9) и (13) получаем
Уравнения Дирака можно записать следующим образом:
з
{Ро + 2 srPr) 'l' + тс% = 0, (15)
3
(Ро - 2 stPt.) х + тех1? = 0. (16)
Здесь s2, 83 -матрицы Паули, а ф и % - двухкомпонентные
волновые функции, преобразующиеся как спиноры Ьа и Ь$. Если ввести
спиноры рар
Pi + iP2='P-2l и т. д., (17)
(И)
(12)
(13)
(14)
278
Б. Ван дер Варден
то уравнения (15) [и (16) перепишутся соответственно в виде
В присутствии электромагнитного поля нужно заменить на р. + (е/с)А .
