Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
проективное унитарное представление группы G пространственных вращений.
В указанной выше работе я доказал, что каждое представ-.ление простой
группы Ли унитарными матрицами является непрерывным. Доказательство
годится и для случая проективных унитарных представлений. Поскольку
группа вращений простая, Tvr представляет собой непрерывную функцию R.
Помножив, если нужно, матрицы Т на надлежащие факторы Q=eia, можно всегда
предположить, что их определители равны единице. После этого остается
произвол лишь в замене Т на -Т. Соотношение (5), таким образом, принимает
вид
т. е. матрицы Т образуют двузначное представление группы G.
Для R=1 естественно предположить T(R) = l. Тогда из непрерывности Трг
следует: если R меняется в окрестности 1 в группе G, то матрицы T(R)
могут умножаться на такие числа в=±1, что в произведении qT все матричные
элементы отличаются от элементов единичной матрицы меньше, чем на е. Это
условие однозначно определяет фактор р. Таким образом, матрица р!7,
которую снова можно обозначить через Т, является однозначно определенной
непрерывной функцией R в окрестности 1 в группе G. При R=S=1 множитель ±1
в (6) равен +1, и, следовательно, из соображений непрерывности он равен
+1 всюду в некоторой окрестности IU. Иными] сло-
Т (RS) = aT(fi) T(S) (о = е*Р).
(5)
T(RS)=±T{R)T(S),
(6)
Принцип запрета и спин
261
вами, мы получили непрерывное унивалентное матричное представление U.
Нейман доказал, что такое непрерывное локальное представление группы Ли
всегда аналитично и определяется матрицами, представляющими бесконечно
малые преобразования группы. Более простое доказательство содержится в
примечании 2 в только что упоминавшейся моей работе. Таким образом,
искомое двузначное представление Т(R) полностью определяется матрицами
Ix,Iy,Iz, представляющими инфини-тезимальные вращения группы G.
Инфинитезимальное вращение вокруг оси х дается выражением
6(х, у, z) = (О, Z, у).
Аналогичные выражения имеют место для вращений вокруг осей у и z. Матрицы
этих инфинитезимальных вращений удовлетворяют соотношениям коммутации
- Iylx = lz 11 Т Д- (7>
Отсюда, согласно теории Ли, следует, что матрицы, представляющие
инфинитезимальные преобразования в представлении T(R), должны
удовлетворять тем же соотношениям.
Все инфинитезимальные представления группы трехмерных вращений, или (что
то же) все решения уравнений (7) были найдены Картаном и Вейлем.
Сформулируем основные теоремы.
, I. Неприводимое представление полностью определяется: (с точностью до
преобразования SIS*) целым или полуцелым •числом /. Размерность
представления равна 2/+1. Матрица ilz - диагональная матрица с элементами
на диагонали, равными /, /-1, -/. При /=0 матрицы Гх, Iy, 1г
обращаются
в нуль. При / =1/2 они равны
1Х = (НУ1 8" Iy = (20"1 *у, 12 = (2 О'1 (8)
где sK, sy, sz - матрицы Паули, определенные соотношениями (5) в" § 8.
II. Приводимое представление полностью приводимо, т.е. его можно
разложить на неприводимые представления.
Простое доказательство утверждений I методом, принадлежащим Борну,
Гейзенбергу и Иордану [16], содержится
262
Б. Ван дер Варден
в моей книге [17]. Прямое алгебраическое доказательство дано Казимиром и
мною [18]. Утверждение II для унитарных представлений тривиально,
поскольку каждому инвариантному подпространству соответствует полностью
ортогональное подпространство.
В данном случае нас интересует двумерное представление. Следовательно, мы
должны взять либо тривиальное представление Т(К) = 1, либо неприводимое
представление (8).
Для описания одного электрона по фундаментальному предположению Паули
необходима ф-функция с двумя компонентами фj и ф2. Вращение, переводящее
ось z в противоположное направление, должно преобразовывать собственную
функцию (ф1?0), отвечающую состоянию с s2 = + 1,b собственную функцию (0,
ф2), описывающую состояние с sz =-1. Поэтому двумерное неприводимое
представление является единственно возможным.
Теперь применим вращение It к паре функций (фг, ф2). Согласно (3),
сначала нужно преобразовать аргумент Р\ при этом каждая функция \[)t
перейдет в новую функцию cpt:
(/>')=^i (^)-
Затем функции (ср1? ср2) в точке Р' нужно заменить их линейной
комбинацией с постоянными коэффициентами tih:
$ СР') = 2^ф1(^')-
Если мы хотим произвести инфинитезимальное вращение, например, вокруг оси
х, мы должны сначала вычислить приращение пары функций (фх,ф2) при
инфинитезимальном вращении только точек Р, затем применить линейное
преобразование 1Х к паре (фх, ф2), не сдвигая точки Р и, наконец, сложить
два найденных приращения. Первый шаг дает приращение
6ф= -(ydz-zdu)ty
и, следовательно, полное приращение будет равно
К-Л = - (ydz - zdtl) лр + /хф,
где ду - дифференцирование по z, а 1Х определено равенством (8). '
Принцип запрета и сПин
263
Итак, каково же соотношение между инфинитезимальными преобразованиями и
моментом количества движения? В квантовой механике без спина момент
количества движения относительно оси х равен
