Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
направлением спина дается выражением
?(?)=-------1 'е-е,- <4-46>
1+Т"р-кГ-
Первое условие выполняется в полупроводниковых кристаллах типа Ge и Si,
содержащих в качестве донорной примеси пятивалентные атомы элементов V
группы. Четыре электрона атома примеси образуют с электронами кристалла
систему ковалентных связей со спаренными спинами, тогда как пятый
электрон может обладать спином любого направления. Если Nd - концентрация
такой донорной примеси, то количество неионизованных доноров п&
определяется соотношением
1 (4'47>
+Yexp kr~"
где Е=-Ed.
Можно показать, что в случае, когда выполняется второе условие,
вероятность Р(Е) заполнения примесного уровня Е двумя электронами со
спаренными спинами равна
Р(Е) =------1-ЁГ=ГЁ' <4'48)
1 +2 ехр --
В полупроводниках IV группы второму условию соответствуют примеси
элементов III группы, атомы которых- в условиях ионизации (т. е. после
присоединения к себе одного добавочного электрона) обладают четырьмя
электронами со спаренными спинами. Число неионизованных акцепторов
определяется равенством
"а = Nt[l-P (?)] ------, МаЕ-_-Ё , (4.49)
1+ 2-ехр-ТГ-
где Е=-АЕ+га.
Здесь явно видна полная аналогия между формулами (4.47) и (4.49), в
которых для доноров использована электронная терминология, а для
акцепторов - дырочная. Для вывода равенств
(4.46) и (4.48), а так же других эквивалентных им зависимостей были
использованы различные методы. Однако эти формулы обладают тем же
фундаментальным характером, что и равенство (4.1), и поэтому могут быть
выведены непосредственно из основных положений статистики Ферми - Дирака
1).
При выводе формул (4.47) и (4.49) из выражений для вероятностей
заполнения Р(Е) неявно предполагалось наличие только одного
См., например, [6], стр. 326-328.
4. Равновесные концентрации носителей наряда
117
уровня у каждой примеси. Однако мы уже видели, что примеси в кристалле
наряду с основными уровнями могут обладать системой возбужденных уровней.
Поэтому в равенстве типа (4.47) следует учесть и эти уровни, причем с
соответствующими весовыми множителями. Тогда имеем
пй= TZZ Ер-ЕЛ -* * (4.50)
,+(5>ехртт
где ЕТ - энергия r-го возбужденного состояния, gr- числа, учитывающие
спиновые и другие виды вырождения. Для доноров, принимающих на свои
уровни только по одному электрону, ge=2, Е0=-ed. Аналогичную формулу
можно написать для акцепторов. В двух наиболее важных с практической
точки зрения случаях возбужденные состояния не играют существенной роли.
Первый имеет место тогда, когда (Е0-ДР)/к7^>1. Поэтому все члены суммы в
правой части (4.50) малы, мало также отношение n^N&, и почти все уровни
примеси можно считать ионизованными. Второй случай имеет место при весьма
низких температурах. Если (Ех-Ев)/кТ^>1, то первый член суммы в правой
части (4.50) преобладает над всеми остальными и равенство (4.47)
оказывается весьма хорошим приближением. Поэтому в дальнейшем мы
отвлечемся от возбужденных состояний примеси. Влияние уровней возбуждения
примеси подробно исследовали Шифрин [71, а также Бурштейн и др. [8].
Перейдем к вопросу об определении концентраций электронов и дырок п н р в
полупроводнике, содержащем N а донорных атомов с примесными уровнями на
глубине ed под дном зоны проводимости и Nt акцепторных атомов с
примесными уровнями на высоте е, над потолком валентной зоны. Уравнение,
выражающее условие электрической нейтральности кристалла и определяющее
положение уровня Ферми, можно записать в виде
л+Яа + Л^* = p-bNа + яа. (4-51)
Все члены этого равенства выражаются через ЕР с помощью формул (4.29),
(4.30), (4.47), (4.49), и мы приходим к уравнению четвертой степени
относительно exp (ЕР/кТ). Для получения простых аналитических решений
необходимо сделать дальнейшие упрощения, справедливость которых
ограничена конкретными условиями. Предположим для начала, что |Уа-Уа1<^Ус
или Ny. Допустим также, что уровень Ферми расположен на глубине по
крайней мере на несколько кТ ниже края зоны проводимости, а также уровней
примеси, но вместе с тем выше положения уровня Ферми в собственном
полупроводнике. Легко убедиться в том, что при сделанных предположениях
ла пренебрежимо мало по сравнению с Na и может быть опущено в (4.51).
Пока уровень Ферми не достигнет значения -ed, значение nd также будет
мало по сравнению с JVd.
118
4. Равновесные концентрации носителей заряда
Это означает, что в данных условиях практически все доноры и акцепторы
ионизованы. Тогда получаем
Weexp|f-Wvexp^±^==Wd-Wa. (4.52)
Предположение о том, что уровень Ферми сдвинут вверх по отношению к
положению этого уровня в собственном полупроводнике, означает, что правая
часть (4.52) положительна и, следовательно, N(P>Na. Если бы сдвиг уровня
Ферми имел другой знак, то опять получилось бы равенство (4.52), но уже с
Na>Nd. Формула (4.52) аналогична формулу (4.35), в которой Nd заменено на
N&-Na и приводит к уже обсужденным выше результатам. При высоких
температурах члены, фигурирующие в левой части (4.52), становятся
