Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
занят электроном, определяется, очевидно, выражением
1
Ph(E) = l-Pe (Е) = -
exp
Ef - ЕЛ k Т
(4.5)
Функцию Eh(E) можно трактовать как вероятность заполнения уровня Е
положительной дыркой. Здесь снова мы видим аналогию между положительными
дырками и электронами, с той только разницей, что для дырок направление
отсчета энергии необходимо изменить на противоположное. При (Е-EF)<c;kE
мы получаем РЬ(Е)= =ехр[(Е-ЕР)/кЛ.
4.2. Собственные полупроводники
Воспользуемся полученными выше зависимостями для вывода распределения
электронов по энергиям в собственном полупроводнике, в запрещенной зоне
которого нет примесных уровней. Ширину запрещенной зоны обозначим через
АЕ, а начало отсчета энергии поместим на дне зоны проводимости. Пусть
Nc(E)dE - число разрешенных энергетических уровней в единице объема в
зоне проводимости в интервале энергий от Е до E-\-dE. Аналогично можно
определить соответствующую величину для валентной зоны. Тогда число
электронов ti(E)dE в зоне проводимости с энергиями в интервале от Е до E-
j-dE равно
n(E)dE = 2Nc(E)Pe(E)dE. (4.6)
Множитель 2 в формуле (4.6) учитывает спиновое вырождение каждого уровня.
Иными словами, мждый уровень может быть занят двумя электронами с
противоположными спинами. Полное число "j электронов в зоне проводимости,
рассчитанное на единицу объема кристалла, определяется выражением
Et
л, = 2 $Mc(E)Pe(E)dE, (4.7)
о
где Е, - энергия, соответствующая потолку зоны проводимости. Аналогично
число дырок p(E)dE в валентной зоне, занимающих электронные уровни
энергии в интервале от Е до E+dE, равно
p(E)dE = 2Nv(E)Ph(E)dE. (4.8)
Полное число дырок в валентной зоне в расчете на единицу объема равно
-Д Е
Pl =2 5 Ny(E)Ph(E)dE, (4.9)
Ей
4. Равновесные концентрации носителей заряда
103
где Еь - энергия, соответствующая дну валентной зоны. В собственном
полупроводнике полное число электронов в зоне проводимости должно
совпадать с полным числом дырок в валентной зоне, поскольку электроны и
дырки возникают и аннигилируют в кристалле парами, поэтому tii=pi. Из
этого равенства можно определить величину Ер, а следовательно, и
вероятностные функции Ре(Е) и
рЛЕ)-
Чтобы выполнить такой расчет, необходимо знать конкретный вид функций
NC(E) и N4(E). Рассмотрим сначала простейший тип полупроводника с одним
сферически-симметричным минимумом энергии в зоне проводимости, которому
соответствует скалярная эффективная масса те, а также с одним сферически-
симметричным максимумом в валентной зоне со скалярной эффективной массой
mh. Такой случай уже обсуждался в разд. 2.3. Рассматривая граничные
условия, накладываемые на волновой вектор к, можно с полной общностью
показать, что независимо от конкретного вида ?(к) число разрешенных
состояний в кристалле объема V в области </к в к-пространстве, равно
N(k)dk = Vjj±. (4.10)
Для электронов в свободном пространстве, для которых импульс дается
соотношением р=Ак, из (4.10) следует, что существует один уровень на
объем Л3 в пространстве импульсов и единичный объем в координатном
пространстве, что является очень важным результатом (см. [2], § 5.5).
Тогда число уровней, для которых величина волнового вектора k лежит между
k и k-rdk, дается выражением
N(k)dk=Vk°-?2. (4.П)
В полупроводнике со скалярной эффективной массой те в зоне проводимости
имеем Е=Агкг/2те, поэтому мы можем сразу получить число уровней в
единичном объеме в интервале энергий от Е до ?+ -М? (для одного
направления спина):
Nc (?) dE = 2п (2me)V, h~3E'i>dE. (4.12а)
Аналогично для валентной зоны со скалярной эффективной массой Щ'.
Nv (?) dE = 2п (2mh),/" Л-3 (- Д?-Е)1/> dE. (4.126)
Из физических соображений ясно, что при (Д?/кТ)^>1 вероятности заполнения
энергетических уровней зоны проводимости электронами и уровней валентной
зоны дырками будут очень малы. Поэтому при определении ?Р можно
предположить, что вырождение отсутствует как в валентной зоне, так и в
зоне проводимости. Условия, при которых справедливо сделанное
предположение, будут рассмотрены
104
4. Равновесные концентрации носителей заряда
ниже. Подставляя значение NC(E) из (4.12а) в (4.7), получаем
? Е{/* АЕ
щ = 4л (2ие)*/, h~Л-------т^-т • (4.13)
1 ех^* ( кГ ) 1
При выводе этого равенства сделаны некоторые упрощения. Во-первых, мы
предположили, что равенство (4.12а) выполняется при любых значениях Е.
Такое предположение оправдывается только в том случае, когда (Е-EF)</ckT,
и, следовательно, существенный вклад в интеграл в правой части (4.13),
вносят лишь малые значения Е. Во-вторых, по тем же соображениям верхний
предел в интеграле
(4.7) заменен на +оо.
Аналогичным образом
-Д?
p1 = 4n(2mh),/.ft- Г (~rf7_5g!M? • (4.13а)
A ex4?i^)+1
Поскольку, по предположению, в формуле (4.13) (Е-?V)/k7^>l, а в формуле
(4.13а) (ЕР-?)/кТ^>1, то в подынтегральных выражениях в (4.13) и (4.13а)
распределение Ферми-Дирака можно заменить простыми экспонентами. Введя в
формулу (4.13) обозначение х=Е/кТ, имеем
00
щ = 4л(2тг)3/* /г3(кГ)*/* exp^ §x%/*e-*dx, (4.14)
