Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
Зависимость типа (4.31) можно получить и другим путем, хотя и менее
строгим, но весьма поучительным. Если рассматривать возникновение и
рекомбинацию электрона (е) и дырки (h) как химическую реакцию, приводящую
к образованию нормального атома или иона в кристалле (N), то такую
реакцию можно описывать уравнением
(e)+(h)=(N)+AE. (4.32)
Из закона действующих масс (ср. (1.2) и (1.3)) следует
пр=К(Т), (4.33)
где К(Т) имеет вид [Е(Г)]2ехр(-AElkT), причем F (Т)- функция, медленно
меняющаяся с температурой. Равенство (4.33) эквивалентно равенству
(4.31), в котором приводится вид функции F(T). Если нам известна
концентрация, электронов в зоне проводимости, то очень легко проверить
степень вырождения в полупроводнике. Пусть для примера Г=300К, тогда
при
величина Nczz2,5-1019 см-3. Поэтому в облаети концентраций
"<101в см~3 для ЕР получаем EF<-2кТ, т. е. электронный газ невырожден. С
другой стороны, если пж2-1019 см-3, то ЕР>-2кТ, и исходное предположение
перестает быть справедливым, т. е. наступает вырождение электронов в зоне
проводимости. Если как это имеет место в InSb, то вырождение в зоне
проводимости наступает при значительно меньших концентрациях электронов .
Прежде чем приступить к исследованию более сложных случаев, рассмотрим
полупроводник, содержащий Nd донорных уровней в единице объема.
Предположим, что донорные уровни расположены в непосредственной близости
от дна зоны проводимости, так что энергия ионизации примесей ed очень
мала по сравнению с шириной запрещенной зоны. Мы уже видели, что такие
уровни довольно типичны, например в Ge, где ed"0,01 эВ при Д?"0,7 эВ.
Предположим также, что уровень Ферми расположен существенно ниже дна зоны
проводимости, т. е. Ер<<с-кГ. Вследствие малости ed практически все атомы
примеси будут, ионизованными и их электроны окажутся в зоне проводимости.
Выясним сперва, какова
4. Равновесные концентрации носителей заряде
III
предельная концентрация примесей, при которой эти условия перестают быть
справедливыми. Для начала допустим, что N^>nit так что можно пренебречь
"собственными" электронами, т. е. теми, которые перебрасываются в зону
проводимости из валентной зоны. В этом случае мы имеем простое
соотношение n=N&. В этих условиях число электронов в зоне проводимости
будет слабо зависеть от температуры. Такое состояние полупроводника
обычно называют состоянием "примесного истощения". Полупроводники,
содержащие доноры в состоянии примесного истощения, называют
несобственными полупроводниками п-типа
Положение уровня Ферми в этих условиях определяется уравнением
n = Afd = Arcexp(|?)
пли
?F = k7In(-JJl). (4.34)
Формула (4.34) справедлива лишь при условии ?F<-кТ, т. е. при Для Ge
при Г=300К это означает, что для приме-
нимости равенства (4.34) требуется, чтобы /Vd<10ie см-3; с другой
стороны, однако, должно выполняться условие /Vd>10u см-3, чтобы можно
было пренебречь концентрацией собственных носителей заряда. Итак, в Ge
при комнатных температурах существует довольно широкая область значений
/Vd, для которых выполняются условия примесного истощения.
Из формулы (4.34) следует, что с ростом jVd уровень Ферми перемещается
вверх примерно с середины запрещенной зоны до значения энергии примерно
на kТ ниже дна зоны проводимости, когда Na -*• Nc. Если N^NC, то система
электронов в зоне проводимости становится вырожденной и для определения
положения уровня Ферми необходимо воспользоваться уже равенством типа
(4.19). В этом случае полупроводник будет вести себя скорее как металл.
Интересно выяснить, что происходит в более общем случае, когда Afd того
же порядка величины что и п|, но при этом Na<^.Nc. Ясно, что, если
А?^>кГ, уровень Ферми будет находиться достаточно далеко от дна зоны
проводимости, на основании чего по-прежнему можно предполагать, что все
атомы примеси ионизованы. Тогда между пир имеет место простое соотношение
п-p-Na, (4.35)
Термин "несобственный полупроводник*, как правило, используется в более
широком смысле. Несобственными полупроводниками обычно называют примесные
полупроводники, у которых концентрация носителей заряда, обусловленная
ионизацией атомов примеси, существенно превышает концентрацию
"собственных" носителей заряда.- Прим. ред.
112
4. Равновесные концентрации носителей заряда
выражающее условие электрической нейтральности полупроводника. На
основании равенств (4.31) и (4.35) можно выразить пир через "1 и JVd и
получить
d ' Ыл *
¦ * (4.37)
П
Р = -
Если (а также (Vd<;./Vc), то приближенно имеем
n = N, nf
Заметим, что концентрация дырок в этом случае намного меньше концентрации
дырок в собственном веществе (в отношении nJN й). Например, при "1=2,37-
1013 см-3 (как для Ge) и Afd"10ie см-3 мы получаем я"1016 см-3 и р"5,6-
1010 см-3. В этом случае электроны принято называть основными носителями
заряда, а дырки - неосновными носителями заряда. Несмотря на малость
концентрации неосновных носителей по сравнению с концентрацией основных,
