Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирование по энергиям необходимо произвести в каждом экстремуме в
отдельности. Однако поскольку вклад каждого из них одинаков, то выражение
(4.15) для rtj необходимо просто умножить на Мс - число эквивалентных
минимумов в зоне проводимости. Аналогичным образом в (4.16) появляется
Afv - число эквивалентных максимумов в валентной зоне. Для зонного
спектра со многими экстремумами сферическая симметрия в k-пространстве в
общем случае отсутствует. Если тензор обратной эффективной массы
электронов в зоне проводимости можно привести к диагональному виду, так
что изоэнергетические поверхности будут представлять собой эллипсоиды
вращения с эффективными массами mi и ш!р то для Е можно воспользоваться
108
4. Равновесные концентрации носителей вар яда
выражением (2.23). При помощи простого преобразования
*;=(-?)*"• *=(-?)*•
мы можем снова привести выражение для ? к "сферической" форме и далее,
действуя как и ранее, получить N (Е), однако заменив в (4.12) те на
"эффективную массу плотности состояний" mde, где mde=mim2- Тогда для щ
получаем
ni = 2m\/lm2Ml.h~3 (2лкТ)г/г exp • (4.23)
Если валентная зона вырождена в точке к=0 (как это имеет место в Ge и
Si), то изоэнергетические поверхности имеют довольно сложный вид и точный
расчет оказывается чрезвычайно громоздким Однако можно аппроксимировать
имеющиеся поверхности равной энергии двумя сферически-симметричными
поверхностями, которым соответствуют эффективные массы ты и mb2. Тогда
вычисления можно провести без особого труда, так как дело сводится к
интегрированию по состояниям в каждой сферически-симметричной зоне,
взятой в отдельности. В результате получаем
Pi = 2 {mli + m&) h~3 (2лkГ)*/. exp (- . (4.24)
"Эффективная масса плотности состояний" в этом случае определяется
соотношением mbb=mbi+mb2¦ В каждом из рассмотренных случаев энергию Ферми
?Р можно получить, приравнивая пj и рj в точности так, как это мы делали
ранее.
Так как равенства (4.15) и (4.23) можно записать в виде 1ср. с выражением
(4.15а)]
п4 = ЛГсехр (§.) , (4.25)
то зону проводимости в этом приближении можно рассматривать как одиночный
уровень энергии с фактором вырождения Nc, расположенный на дне зоны. Это
следует также из формулы (4.3), если положить в ней ?=0 и -?F^>k7\
Действительно, среднее число электронов, занимающих g-кратно вырожденный
уровень при ?=0 и -Ер^>кТ, согласно (4.3), равно g exp(?F/kT). Сравнивая
с (4.25), можно убедиться в том, что эти формулы совпадают между собой
при g=Nc. Аналогичным образом равенства (4.16) или (4.24) можно записать
в виде
А=ЛГ,ехр(-^±ДЕ) . (4.26)
J) Для Ge и Si такой расчет выполнен в работе [5].
4. Равновесные концентрации носителей заряда
109
Таким образом, валентную зону можно рассматривать как одиночный уровень
энергии при ?=-Д?, имеющий фактор вырождения Ny. Вследствие того что для
собственного полупроводника rii-pu в отсутствие вырождения в зонах
n? = tfctfvexp(-??). (4.27)
Соотношение для энергии Ферми, выраженное через Nc и Nv, имеет вид
?р = -1д?+1кТ1п (-^-) . (4.28)
4.3. Примесные полупроводники
При рассмотрении распределения электронов по примесным уровням, лежащим
между валентной зоной и зоной проводимости, мы сразу сталкиваемся со
следующей трудностью. В выражении для числа электронов на примесных
уровнях необходимо учесть то обстоятельство, что, с одной стороны,
электрон может пребывать на атоме примеси в двух различных состояниях,
соответствующих противоположным направлениям спина, с другой - примесный
уровень не может считаться дважды вырожденным, поскольку наличие на нем
одного электрона полностью исключает возможность заселения его любым
другим электроном. При этом могут иметь место различные ситуации,
некоторые из них мы рассмотрим подробнее. Необходимо отметить, что
приближенные зависимости для определения числа электронов в зоне
проводимости, полученные в разд. 4.2, применимы и в рассматриваемом здесь
случае, если уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости, по крайней
мере на величину порядка 2кГ, так что электроны в зоне могут считаться
невырожденными. Таким образом, концентрация п электронов в зоне
проводимости по-прежнему подчиняется соотношению (4.15а), т. е.
" = ЛГеехр(|?). (4.29)
Однако в данном случае величина ЕР уже не определяется формулой (4.28)
или эквивалентной ей зависимостью, а является функцией концентрации
примесей. Аналогичным образом если дырки в валентной зоне можно считать
невырожденными, то для концентрации р дырок в валентной зоне получаем
(4.30)
МО
1. Равновесные концентрации носителей заряда
Таким образом, в отсутствие вырождения по-прежнему остается справедливым
выражение
пр= NcNvexp ¦??) = "? (4.31)
[ср. равенство (4.27)]. Это очень важное соотношение, показывающее, что в
отсутствие фермиевского вырождения, т. е. когда малы концентрации
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, произведение пр
не зависит от концентрации и распределения примесей в полупроводнике.
