Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
о
о (2nmekT\'U Еf ,,
\~ТИ ) (4-15)
"i = Acexp§-. (4.15а)
Аналогичным образом, обозначив в формуле (4.13а) величину
(-АЕ-Е)/кТ через х, получим
оо
Pl = 4л (2mh)sA ft-" (к7у/* exp [-^-+А?] J dx =
= 2(т^Г"р[-^]. (4-16)
Pi - ^v exp [-?Fi^A?] • (4.16а)
Приравнивая Pl и ri\, получаем
mj* exp = ml/' exp [-?^A?] ,
4. Разновесные концентрации носителей заряда
105
откуда
EF = -±AE + ^kT In (g). (4.17)
При mh=me уровень Ферми располагается в точности посередине между
валентной зоной и зоной проводимости. В большинстве собственных
полупроводников отклонение уровня Ферми от этого среднего положения при
обычных температурах невелико. Однако в таких полупроводниках, как InSb,
где mh/me"20 и Д?~0,2 эВ, уровень Ферми при комнатных температурах
(кГ~0,025 эВ) заметно сдвинут в сторону зоны проводимости *),
Подставив значение ?Р из (4.17) в формулу (4.15), легко получить для или
pi выражение
"i = Pi = 2(^),/' (memh)*/. exp [--^r] • (4-18)
После подстановки численных значений физических констант Л и к выражение
(4.18) приобретает вид
л, = Pi = 4,82-1047"/. ("JSxp (- -Цг) см-3. (4.18а)
На рис. 4.4 показана зависимость nt от 1/Т (кривая 1) для германия, у
которого при Т=300К Д?"0,665 эВ (см. разд. 13.3). Из этого графика
следует, что ln/ti почти линейно зависит от 1/Г. Едва заметное на рис.
4.4 отклонение от строгой пропорциональной зависимости обусловлено
множителем Тг/>. В случае германия при комнатной температуре для
состояний в зоне проводимости (?-?Р)>15кГ и аналогично для состояний в
валентной зоне (?Р-?)>15кГ, так что условия отсутствия вырождения
выполняются с большой точностью.
Если использованное экспоненциальное приближение становится недопустимым,
т. е. начинает сказываться вырождение, то выражение для щ можно записать
в виде
"1 = 4я(2т"^-),/,Л/1(^), (4.19)
где функция ?" (?) определяется интегралом
о
Таблицы функций ?"(?) для небольших полуцелочисленных значений п
составлены МакДуглом и Стонером [3]. Для дырок при
11 В данном примере уровень Ферми сдвинут относительно середины
запрещенной зоны к зоне проводимости на 0,056 эВ,- Прим. ред.
106
4. Равновесные концентрации носителей заряда
Рис. 4.2. Концентрация электронов в зоне проводимости как функция Ер!кТ в
различных приближениях.
а-классическое приближение; б - точное значение; в-приближение Эрен-
берга,
наличии вырождения справедливо соотношение
= (4.20)
Энергия Ферми ЕР определяется в этом случае из условия
"¦:%.[-&]="#*/. <4'2"
Вообще говоря, такое уравнение можно решить лишь численными
методами. При ?>5 функция Fi/2(?)& и система считается
при этом сильно вырожденной. Однако сильное вырождение имеет место в
металлах, тогда как в обычных собственных полупроводниках оно
отсутствует. При больших отрицательных значениях
аргумента ? функция Р>/2 (?)" у n'/"eE, и система становится
невырожденной. Эренберг [4] предложил следующую аппроксимацию для
/?,/'(й = 2",/1(Ц7)* (4'22)
4. Равновесные концентрации носителей заряда
107
На рис. 4.2 представлены графики зависимости nt/Nc от EF/kT, вычисленные
в приближении простой экспоненты, в приближении Эренберга, а также по
точной формуле (4.19). По этим графикам видно, что классическое
приближение можно использовать, с хорошей степенью точности уже при
значениях ?F/kT<-1, т. е. оно справедливо до тех пор, пока уровень Ферми
лежит по крайней мере на величину kТ ниже дна зоны проводимости, чему
соответствует n<0,4jVc. Для более высоких значений п наступающее
вырождение приводит уже к заметным • отклонениям от точной формулы.
Приближение Эренберга справедливо до EF/kT=2.
Для определения численных значений Ne и Nv (см. равенства (4.15а) и
(4.16а)] необходимо знать величины эффективных масс те и mh, которые
известны далеко не всегда. Однако если энергия активации АЕ известна, то
этого достаточно для того, чтобы оценить порядок величин rtj и р\.
С другой стороны, зависимость п.\ от температуры можно использовать для
определения АЕ. Несомненно, простейшим способом определения АЕ является
изучение температурной зависимости собственной проводимости. Если
значение АЕ достаточно велико, то изменение проводимости с температурой в
основном будет обусловлено температурной зависимостью концентрации
носителей заряда. Поэтому, предполагая, что удельная проводимость о
пропорциональна rtj (так как ni-pi), можно изобразить графически
зависимость 1по от 1/Т; при этом из равенства (4.18) следует, что она
будет иметь вид почти прямой (если пренебречь членом 1пТл/*) с наклоном
АЕ/2к. Такой метод определения АЕ весьма широко использовался, однако он
может привести к существенным ошибкам, если применять его без разбора.
Кроме того, для применения этого метода необходимо удостовериться в том,
что измерения действительно относятся к области собственной проводимости.
Позже мы подробнее обсудим различные методы определения АЕ. Когда имеется
несколько эквивалентных минимумов энергии в зоне проводимости или
несколько эквивалентных максимумов в валентной зоне (см. разд. 2.3),
