Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
преобладающими, и положение уровня Ферми стремится к положению,
характерному для собственного полупроводника. Од-накб с понижением
температуры второй член в левой части уравнения, определяющий
концентрацию дырок, становится мал по сравнению с первым, и мы получаем
kT In
V
) . (4.53)
При достаточно низких температурах нельзя уже предполагать, что уровень
Ферми располагается ниже уровней донорной примеси и полученные выше
зависимости перестают быть справедливыми, С понижением температуры
уровень Ферми перемещается к примесным донорным уровням и система доноров
становится частично заполненной.
К счастью, в этом случае можно пренебречь вкладом свободных дырок в
уравнении (4.51), если па мало. Не делая предположения о малости ndjno
сравнению с Afd, мы получаем следующее выражение для определения уровня
Ферми:
n = j г . (4.54)
1+T"p[-iawLI]'
При n=Ncexр (Ep/kT) отсюда получаем следующее квадратное уравнение
относительно п или exp (EF/kT):
п2 + ti(Na + n1)-(Na - yVa) - 0, (4.55)
где "15=уУУсехр(-ed/kT). Соответствующее решение этого уравнения имеет
вид
п - -j (Na + п,) +1 [(Na + ntY + 4п, (Ый-Ыа)]Чг. (4.56)
При ed/kT^>l, Пг - малое число и решение (4.56) можно заменить
приближенным, но более простым выражением. При этом необхо-
4. Равновесные концентрации носителей заряда
119
днма, однако, некоторая осторожность, так как разложение в ряд корня в
правой части равенства (4.56) возможно лишь при л,^>Л/а. Такое
приближение справедливо лишь для частично скомпенсированных
полупроводников. В этом случае приближенно имеем
".). -"^Лг.ехр (-•§,) ¦ (4.57)
Если очень мало, так что то оказывается спра-
ведливым следующее приближенное выражение
n = (n^d)V. =_1,(NdNc)'f. exp . (4.58)
Эти формулы по существу тем же путем получены впервые де Буром и Ван
Геелем 19). Как показали Мотт и Герни (см. (101, с. 156- 160), эти
соотношения можно получить также из условия минимума изменения свободной
энергии, связанного с переходами электронов с донорных уровней в зону
проводимости. Заметим, что в указанных выше условиях график зависимости
1п л от l/Т имеет вид прямых с наклонами zJVT и '/"(tJVT). Этим можно
воспользоваться для определения значения ed для доноров в германии и
кремнии. Одиако ясно, что этот метод следует применять с осторожностью,
лишь убедившись, что соответствующие условия выполняются. Аналогичные
формулы легко получить и для случая полупроводников, в которых
преобладает акцепторная примесь.
Формулы (4.57) и (4.58) указывают на то, что при понижении температуры
должны исчезнуть все свободные носители заряда. Как правило, в области
температур жидкого водорода и жидкого гелия концентрация носителей заряда
действительно сильно убывает и обычно можно получить кривые, наклон
которых позволяет определить значения ed или еа. Однако при дальнейшем
понижении температуры оказалось, что свободные носители заряда вовсе не
исчезают, как это предсказывает простая теория. Эго явление, известное
обычно под названием проводимости по примесным зонам, будет рассмотрено
позже (см. разд. 5.4). Если отвлечься от подобных эффектов, то общий ход
зависимости концентрации основных носителей заряда от 1/7' имеет вид,
показанный на рис. 4.5".
Прн некоторых соотношениях между концентрациями донор ной и акцепторной
примесей на графике зависимости In п от I/Г могут проявиться трн разных
наклона. Так, прн Nt<-Ni в области наименьших температур имеет место
участок с наклоном ed/k, прн более высоких температурах появляется
участок с наклоном ed/2k, н, наконец, при дальнейшем увеличении
температуры наступает истощение доноров, когда наклон кривой обращается в
нуль. Переход от участка с наклоном ed/k к участку, имеющему наклон
t?d/2k, соответствует равенству
я--Л'а. При Na>N^ y A'd участок с наклоном ed/2k не возникает.- Прим,
ред.
120
4. Равновесные концентрации носителей заряда
Рис. 4.5. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в
полупроводнике n-типа при низких температурах.
0
Ег
- Д?
Т -*-
0
ЕГ
-Д Е+еа - Д?
Рис. 4.6. Температурная зависимость положения уровня Ферми. Пунктиром
обозначено положение уровня Ферми в области собственной проводимости.
Положение уровня Ферми в условиях применимости равенства (4.57)
определяется по формуле
ЕР = - гл+кТ In (^§7*) , (4.59)
т. е. уровень Ферми расположен несколько выше уровня Е=-е^. Если
положение уровня Ферми определяется формулой (4.58),
4. Равновесные концентрации носителей заряда
121
например, при ЛГа=0, то
?f = -5-ed+lk?In(-^). (4.60)
Поэтому в полупроводнике, содержащем лишь донорную примесь, уровень Ферми
располагается примерно посередине между донор-ным уровнем и дном зоны
проводимости. Аналогичные соотношения имеют место при В этом
случае уровень Ферми распола-
гается либо непосредственно под уровнями акцепторов, либо посередине
между потолком валентной зоны и акцепторными уровнями. Общий ход
изменения положения уровня Ферми с температурой показан на рис. 4.6. Во
