Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
плотности р среды. Будем предполагать, что вообще р есть функция лишь
расстояния от центра Солнца, так что мы можем написать р = ср(г). Далее,
можно принять, что корреляция между и и р отсутствует. Следовательно, мы
можем записать силу сопротивления R, приходящуюся на единицу массы
планеты, в виде
R = cF(v) • <р (г), (1)
где предполагается, что с — очень малая величина, постоянная для данной
планеты.
Открытие со времени Энке в Галактике огромных диффузных туманностей,
темных и светящихся, через которые проходят пути звезд, и совсем недавнее
открытие более разреженного межзвездного вещества сделало снова эту
проблему важной, особенно для космогонии. В большинстве распространенных
теорий происхождения и эволюции солнечной системы предполагается, что
первоначально Солнце было окружено облаком вещества, в котором двигались
первобытные планеты. Далее, одна из особенностей солнечной
304
Глава 15. Влияние сопротивления среды
системы состоит в том, что эксцентриситеты орбит планет, вообще говоря,
очень малы. Как мы увидим позднее, сопротивление среды приводит к
постепенному уменьшению эксцентриситетов.
Мы сначала рассмотрим легко интегрируемый случай, когда в формуле (1)
F(v) = v и <р(г)=1/г2, а затем исследуем более общую задачу. Так как сила
сопротивления не имеет составляющей, перпендикулярной плоскости орбиты,
то удобно принять эту плоскость в качестве основной. Ввиду сходства
применяемых методов мы рассмотрим в конце главы движение перигелия
Меркурия.
§ 15.02. Уравнения движения (R = cv/r2)
Пусть ОХ — основное направление в плоскости орбиты, причем Солнце
находится в точке О. Обозначим через г, б полярные координаты планеты,
масса которой равна nt, а через 5 — „долготу* перигелия, так что 0 = / +
й, где / — истинная аномалия. Если ds — линейный элемент орбиты, то
составляющие силы сойротивле-ния вдоль радиус-вектора и перпендикулярно
ему будут соответственно —rnR и —mRr^, или —mR-^ и —rnRr^.
Поэтому
уравнения движения при R — си/r2 будут иметь вид
0)
и
и
(2)
Здесь p. = Q(m0 + m), где т0 — масса Солнца.
Пусть
и = 1, Н = г2б,
(3)
так что 0 = #и2. Тогда уравнение (2) запишется в виде
H = h — сб,
где А — постоянная интегрирования.
С другой стороны,
(4)
(5)
и
$ 15.03. Изменения оскулирующих элементов е и со
305
Поэтому до малых величин порядка с включительно уравнение (1) при помощи
равенств (3) приводится к виду
d2u
1W
; + —*-*(!+*)?
Решение этого уравнения запишется так:
и = ? 1 + е cos (9 — й) -f- ] • (6)
где е и ш — постоянные интегрирования и
Л*
Р = -|Г- (7)
Так как А— постоянная, то и р также будет постоянной величиной.
§ 15.03. Изменения оскулирующих элементов « и б
Если действие сопротивления в момент /0 внезапно прекратится, то планета
Р начнет описывать эллиптическую орбиту — оскулирую-
щий эллипс, уравнение которой может быть записано следующим
образом:
±= «о = ± [1+<?0 cos (0-й)]. (1)
где г0 и и0 соответствуют оскулирующему эллипсу. В формуле (1)
Po = ao(l ~е1)' (2)
где а0, е{), а также ш0 — оскулирующие элементы. Если Н0 означает
постоянную площадей для оскулирующего эллипса, то
= г$ (3)
и
но
Po=~jT' (4)
По определению оскулирующего эллипса а) координаты планеты Р и б)
составляющие ее скорости для оскулирующего эллипса и истинной орбиты в
момент /0 одинаковы.
Рассмотрим (а). Пусть 0О — полярный угол в момент /0. Тогда
го(%) — г(%) или аоФо) = “(%)• Из формулы (1), а также из формулы (6) §
15.02 мы имеем
±11—eocos(00 —e»,)] = I[l+ecos(0o —+ (5)
Рассмотрим (б). Согласно равенству (3), //о = г^0, а согласно
формуле (3) § 15.02, // = г20. Так как в момент /0 значение 0 одно
20 У- Смарт
зов
Глава 15. Влияние сопротивления среды
и то же для обеих орбит и г — г0, то мы имеем Н0 = И(60), или, принимая
во внимание уравнение (4) § 15.02,
Н0 — h — с0о.
Поэтому до малых величин порядка с из формулы (4) и формулы (7) § 15.02
имеем
Ро = р(1— pp)- (6)
С другой стороны, согласно формуле (5) § 15.02, ^
dltn Га
и аналогично для оскулируюшего эллипса = — jj- ; следовательно, поскольку
в момент t0 г0 = г и Н = Н0, то
Ж = когда 0 = 0«- <7>
Из формулы (1), а также из формулы (6) § 15.02 тогда получим J-[eosin(0o
— ш,,)] =i[*sin(90 — й) — (8)
При помощи равенства (6) формулы (5) и (8), с точностью до малых величин
порядка с, принимают вид
eocos(0o — io0)==ecos(Q0 — <o)[l —рр]> (9)
Bosin(Oo-5o) = Bsln(0o-5i)[l(Ю)
Умножив равенство (9) на cos(0o — <5), а равенство (10) на sin(0o — <в) и
сложив результаты, мы получим
*0cos(<50 — 5>) = *[l — ^»]_^-sin(0o — й). (11)
Умножим равенство (9) на sin(0o — <в), а равенство (10) на cos(0o — ш) и
вычтем; тогда найдем
2 с
е0 sin (<50 — <5) = — cos (0о — <5). (12)
Пусть е0 = е + Дие, <50 = <о + Д0<о. Тогда с точностью до малых величин
порядка с формулы (11) и (12) примут вид
До* = --^_?8!п(0о_й) (13)
и
$ • Дфй я= ~ COS (0О—&). (14)
§ 15.04. Изменения элементов а и п
307
Пусть в некоторый последующий момент времени, когда б возрастет от 0о до
