Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
/, = cos 2 cos и — sin 2 sin и cos I.
ц = <o—(- / = й — 2-)-/.
0)
(2)
$ 14.03. Выражение dR/да через S, Т и W
287
откуда
s=4 <*»
Для составляющих Т и W формулы имеют аналогичный вид.
Далее,
г, ../1 xx,+yyl+z2i\
R-*(* ц )?
где
Д2 = (лг - xt? + (У - у,)*+(z - *,)*. поэтому, например,
а/? _ *(дс —дс,) дс,
а* “ Д3 г3 •
Таким образом, значение 5 для любого момента времени можно вычислить при
помощи формулы (3), если известны элементы орбиты планеты Р и координаты
планет Р и Pv
В уравнения Лагранжа входят производные от R по элементам. Поэтому если о
— любой элемент, то нам потребуется выразить производную dR/до через S, Т
и №.
§ 14.03. Выражение dR/да через S, Т и W
Мы имеем
х = 11г, у = т]Г, г = пхг, где г — радиус-вектор планеты Р.
Следовательно, если а означает любой элемент, то
аде а/, , . дг
~W~r да "Г<1 да *
Аналогичные равенства имеют место и для ду/да, dz/do. Далее,
dR а/? ад: . dR ду . dR дг
да аде да ‘ ду да ' dz да ’
поэтому, принимая во внимание формулы (2) предыдущего парагт рафа, будем
иметь
ГТ= 2('-W +'.-?) <'.5 + V + W =
Затем при помощи таблицы § 5.06, в которой ш заменим на и, находим
а/, а/, as . а/, ди . а/, а/____
да as да ди ’ да dl ' ~да "
288 Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Производные от /и, и л, по о получаются аналогично. Поэтому коэффициенты
при гТ и rW в формуле (1) могут быть легко найдены. Они соответственно
равны
<52 I ди <32 . . дi
язаГ+1Г и -«г-аг+*1™-^.
где n3 — cosi и я2 = cos м sin/. Следовательно,
1 dR с <3г . — / <32 | ди \ . / <52 . . dl \
Г^=5'^ + гТ(яз-аг+'а;)+/'г(—я2 d7+s,na15-)- (2>
Нам потребуется найти dr/da и ди/да.
*>'S-
МЫ имеем
г = а{\ —е cos?),
откуда
дг г да де , , „ дЕ
-з- = —^ a cos с —
да
— s a cos Е -з- + ае sin Е -з—
а да да 1 да
Далее.
Е — esin? = J ndt-\-e — ш,
где при дифференцировании правой части первый член в ней не должен
рассматриваться как функция а. Поэтому в общем случае
а де де де
и, следовательно, после некоторых упрощений получаем
(3)
дг г да где , a2eslnE <3(*— <о) ...
77 = 7 ar-ecos>V + —-г дГ~’ <4>
2) . Из равенства (1) § 12.02 имеем
<3и_<3(<7— 2) . df да да ' <3а
(5)
Далее,
откуда
д/ _ 1 де 1 дЕ
sin/ да 1 — е2 да ' sln? да
Однако rsin/ = ftsin?, где b = a( 1—е2)',г. Поэтому, используя формулу
(3), находим
Теперь выражение для ди/дя получается для формул (5) и (6).
§ 14.04. Уравнения, определяющие элементы а, е, .... г 289
Подставляя в равенство (2) выражения для дг/дя, ди/до, л3 и п2, мы
найдем, что
1 dR о Г г да , де , a2eslnE d(t — ш) 1 .
"х ~§Г = [o’ аГ аcosf~da г Lar-2J +
I т Г • t ( 1 . а \ де . ab dt .
+ '7>п/(т^ + 7)а7+7*-а; +
, /. ab \ дш .. .. as 1 ,
+ (1-7г)-ЗГ-0 — cosO-gs J-b
+ гГ[—cosasin/^ + sIna-J]. (7)
Из этого соотношения немедленно выводим следующие равенства:
1 dR f с 1 a/? t о \ 1 *( 1 1а\т
T~dZ=a'S' 717 =-----------«cos/.S + rsin/(TZI75- + 7)7’.
-i- = г sin а • W, 7 = — 2r sin2 • Г — г cos a sin / • W,
1 dR aes\nf ^ i д* (1 —gi)^2 j 1 a/? 1 a/? . ^j,
x de (1 — e2)'!* r ' x дш x dt
§ 14.04. Уравнения, определяющие элементы а, ё, в
Подставим теперь полученные в предыдущем параграфе выражения для dR/да и
т. д. в уравнения (7) — (12) § 5.10. В результате получим
а = —2Gm' [$<? sin/ + — Т],
n(l-e!)v' L аг J
• = Gm, (Ь- е2^_ {Ss|nг (cos ?+ cos /)].
1 == — 0m‘ • Wr cos a,
na2 (1 — e2) I*
2 =----(2m' Ursine,
na2 (1 — <?2)v* sin I
ш
8
= 2sin2^-.2+ Gmi(l~ei)'U [-?Scos/ + 7’(l+y)sln/].
= _20mL , r§_|—o) _|_ 2 (J — ^)^* sin2 A • 2.
na2 1+(1 — e2)'!* 1 2
Так как средняя долгота, которую мы здесь обозначим через С. определяется
формулой
; = J ndt-\-9,
19 У. Смарт
290 Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
то мы имеем
С = л + е.
Эти формулы удобны, если пользоваться методом механических квадратур. Как
было сказано в § 14.02, численные значения для S, Т, W могут быть найдены
для любого момента времени, и если элементы известны, то правые части
этих уравнений могут быть вычислены для любого рассматриваемого момента.
Поэтому мы можем получить таблицу значений, например е, для моментов t0,
fo+t, /0 + 2т, ..., из которой путем численного интегрирования можно
выразить е как функцию t.
§ 14.05. Приложение к вековым неравенствам
В § 7.16 мы видели, что второй член возмущающей функции /?= G/я, +
+
является чисто периодическим. Следовательно, занимаясь вековыми
возмущениями, в качестве возмущающей функции достаточно взять
Я = о», (>)=-(!).
Поэтому мы можем рассматривать S, Т и W как проекции 1/Д2 на оси ОА, ОВ и
ОС (см. рис. 23).
В общем случае, когда рассматривается вся возмущающая функция, уравнение
для элемента а может быть записано в виде
e = V+-2SBcos(/i: + /., + tf). (1)
i ) w
где С, С, — соответственно средние долготы планет Р и Р,, а /, j — целые
положительные или отрицательные числа, включая и нуль, с оговоркой, что /
и j не равны нулю одновременно.
Умножим уравнение (1) на dT. Л, и проинтегрируем в пределах
от 0 до 2л по ( и С,. Тогда, обозначая А0 через [с], мы будем
