Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
2 (Hf+0=«1”'S<+«-a’' 2*4+
5*1 S S
-f- evt [п. ч] -f- e~vt [п. я.] -f- п. ч. -f- R,
где R — постоянная. Но, согласно формуле (14) § 13.10, левая часть этого
соотношения равна *2, причем % — постоянная. Поэтому мы имеем тождество
(обозначения очевидны)
к2=F^e201 -f- Q2e~2vt + evt [п. ч] -f- e~vt [п. ч] -f- п. ч. -f- R.
Но ем и evt неограниченно возрастают. Следовательно, правая часть не
может равняться постоянной. Отсюда заключаем, что v должно
18*
276
Глава 13. Вековые неравенства
быть равно нулю и корни gx и g2 должны быть действительными и что вообще
все корни gx gn будут вещественными.
§ 13.15. Канонические уравнения для Н н АГ
Согласно формулам (13) § 13.10, канонические уравнения имеют
вид
н — dF k'— dF п'~ дКг’ дН, '
где F определяется формулой (12) § 13.10:
2F = ? С, {Н]+— ? ? Brs (НГН, + KrKs). s t г. (О
Г= 1 Г=1 S-1
Здесь F — однородная квадратичная функция На, а также однородная
квадратичная функция Ks• Мы можем, следовательно, сделать ортогональное
линейное преобразование переменных Н, К к новым переменным L, I. Пусть
Hr — ArXLi + АЛГ2 + .. • + ArnLn, (2)
Kr = ArXlx + ... +Arnln. (3)
При помощи этих уравнений мы можем выразить F через L и /. Новые
переменные будут канонически сопряженными, если, согласно условиям (1) и
(2) § 10.09, имеют место равенства
= Ь (4)
Г=1
2 ArsArl = 0, t Ф Si (5)
r= 1
л
г-1
где 5 и t могут принимать значения 1, 2 я. Мы тогда получим
/ dF г 3F ,е\
1г — ~дГг• r--------dL/
Очевидно, что F преобразуется к виду
2F = ? «г (Lr + $+??/« (irLs + Iris). (7)
5-1 Г-l 5=1
где а и / — функции А, В и С, и, кроме того, так как Brs = Bsr
ТО frs == fsr‘
Число уравнений (4) равно я, а число уравнений (5) составляет 1/2п (я—1)
^так как, например, 2 АпАг2 = 2 АгДт j • Поэтому поскольку общее число
величин А равно я2, то */2я(я— 1) величин А могут рассматриваться как
произвольные.
§ 13.16. Случай двух равных корней
277
Далее, в формуле (7) число величин / равно 1/2п(п— 1).
Поэтому
мы можем выбрать произвольные А так, чтобы все / были
равными
нулю. Другими словами, мы получим >/2я(« — 1) новых соотношений, которые
совместно с равенствами (4) и (5) дают нам возможность определить все
величины А. Мы сможем тогда написать
2F = 2 аг (tf+ф. (8)
1
Канонические уравнения будут иметь вид
Lr = arlr, ir~ ar^r'
откуда находим
Lr-\- c?rLr — 0.
Решение этого уравнения дается формулой
?, = Я, sin (а,/+с,). (9)
Из формулы (8) и интеграла энергии (16) § 13.10 видим, что
lr = Prco$(art + cr).
Из соотношений (2) и (3) мы тогда будем иметь
П
Hr — Yi л,Л81п (М+
(Ю)
Кг = 2 Anpr cos (a,t 4- cr).
s= 1
Сравним эти последние равенства с равенствами (4) § 13.13. Мы видим, что
величины а совпадают с g, т. е. с корнями уравнения Д = 0 [формулы (6) и
(7) § 13.11]. Кроме того, Мгз=* ArJ>r.
Предположим, что преобразования (2) и (3) выполнены. Тогда после замены в
равенстве (8) а, на gr мы увидим, что уравнение Д = 0 преобразуется в
уравнение
д'=П(?-?,)=о.
г-1
§ 13.16. Случай двух равных корней
Рассмотрим определитель Д (формула (7) § 13.11). Вследствие большого
разнообразия входящих в него величин С и В кажется почти невозможным,
чтобы уравнение Д = 0 имело два равных корня. Одно время думали, что если
бы два корня действительно были равными, то чисто периодический характер
решений для И и К был бы нарушен. Чтобы выяснить свойства решений, когда
два корня, скажем
278
Глава 13. Вековые неравенства
Si и равны друг другу, мы ограничимся анализом случая трех планет, т. е.
при я = 3. В этом случае коэффициенты А в формулах (2) и (3) § 13.15
имеют свойства направляющих косинусов и могут быть заменены на Хг, рг,
vr, г=1, 2, 3.
Преобразование функции F, определяемой формулой (1) § 13.15, к виду (8) §
13.15 аналитически эквивалентно приведению уравнения эллипсоида
2F = Сх х2+С2 у2 + С322 — Bxyz — B2zx — В3ху = 1 к уравнению
2/=, = с1х2 + с2уг+с3г2 = 1, (1)
отнесенному к главным осям. Если gx = g2, т. е. ах = а2, то уравнение (1)
после замены а на g станет уравнением эллипсоида вращения
2Fssglx*+ gxy2+g3z* = 1.
причем новые оси jc и у, лежащие в центральном круговом сечении,
направлены совершенно произвольно. Как и в предыдущем параграфе,
уравнения для величин L имеют вид
U Ч- Si^i = 0, Ц -f- g\Li = 0, Lz -f- g\Lz = 0.
Решение этих уравнений дается формулами
1*1 = Р\ Sin (gxt -f- Cj), LjrsrPjSln^j/H-Cj),
Lz = P% sin (g3t -f- C3).
Аналогичные уравнения имеют место и для I. Отсюда следует, что решение
уравнений для Н и К является периодическим.
§ 13.17. Уравнения, определяющие наклонности
Уравнения, которые мы будем теперь рассматривать, для планеты Рх имеют
вид
1 <W, 1 dNx ...
Pi 2 ~л * 4l —----------------2 ’ (О
nxa\ oqx пхах дрх
причем интересующая нас часть Nx дается формулой
§ 13.17. Уравнения, определяющие наклонности
279
Используя обозначения (3) и (4) § 13.10, запишем уравнения (1) в виде
П
Pi~\~C1ql — S(l. J)4j — 0> (2)
71-QA + 20. J)P,=0. (3)
Пусть 4t — Y at. Тогда
где btJ — симметричная функция^ обладающая свойством
