Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
0,, новые оскулирующие элементы будут и 5,, или e + Ai* и ш + Дро. Тогда,
согласно формулам (13) и (14), получим
. 2се0, 2с . /Л -ч
AjB =--------д— — -д- Sin (б! — ш)
и
2 с
е • Д,л = -д- cos (Oj — А).
Если ее и 5й означают приращения оскулирующих элементов при возрастании 0
от 0о до 0t, то, так как Ье = Д^ — Дие, мы будем иметь
Ье = — (0, — 0о) - Ц- [sin (0! — в) - sin (0о — А)] (15)
и аналогично
е 8<о = [cos (6t — A)— cos(0o — A)]. (16)
Формула (15) показывает, что изменение эксцентриситета состоит
из векового и периодических членов и что за один оборот планеты,
т. е. когда 0! — О0 = 2-ге, эксцентриситет уменьшается на 4-
ксе/к.
Эффект сопротивления среды, таким образом, приводит к непрерывному
уменьшению эксцентриситетов оскулирующих эллипсов с каждым обращением
планеты.
Согласно формуле (16), изменение элемента А является периодическим и
принимает нулевое значение после каждого обращения планеты.
§ 15.04. Изменения элементов а и п
Для исследования характера изменений большой полуоси оскулирующего
эллипса воспользуемся формулами (2) и (6) предыдущего параграфа:
Ро = ао(1-ео) = /’(1-^)*
где р (= А2/р.) — постоянная. Положим р = а (1 — е2), где а — постоянная.
Тогда если а0 = а + Д0а, то до малых порядка с мы найдем, что
(1 —ег)^0а = 2ае\>е — —^-(1 —е*),
откуда
А „а 2с0о ( 1 + е% \ 4 ее /ft жч
— Г “ —е* 8,п (9° “>•
20*
308
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Аналогичную формулу мы имеем и для Д,а. Поэтому изменение большой полуоси
за один оборот будет даваться формулой
* » » 4пса /1 + ег \
8а==Д,а — Д0в=------
Следовательно, большая полуось оскулирующего эллипса уменьшается с каждым
обращением планеты.
Так как р. = л§а2, то вариация 8л среднего углового движения
Зл
будет определяться формулой 8я = — 8а, где а и л— постоян-
ные. Следовательно, среднее угловое движение за каждый период обращения
планеты увеличивается на
бялс (1 + ег \
А \1 — е*)’
§ 15.05. Общие уравнения для а и т. д.
В этом параграфе мы будем предполагать, что сила сопротивления дается
общим выражением (1) § 15.01. Обозначим радиальную и трансверсальную
составляющие силы сопротивления соответственно через S' и Т'. Тогда
S' = -R±, Г = -/?4- 0)
В § 14.04 мы получили формулы, выражающие а, е, ... через составляющие S,
Т и UP силы притяжения возмущающей планеты массы /к,. Поскольку при S, Г
и 1Г содержится множитель G/n,, то очевидно, что мы можем использовать
общие уравнения § 14.04, заменяя От,5 и От,Г на S' и Г и полагая W = 1 =
0.
Интересующие нас уравнения запишутся следующим образом (мы заменим А2 на
ар и У 1 — е1 на cos<p, где sincp = e):
«=«сЫ®'"1»/+?г]- И
е~~па~ [•$'SinZ + r^cosf-f-cos /)]• О)
J/cos/+r(1 +7)s1"/]’ (4)
* = 'i + co3y T3*rS>' <5>
Уравнение эллипса имеет вид
~=l+«cos /,
(6)
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при R «= cwP
309
где
Ь2
р = — =а( 1 — е2) = я cos2 9.
Кроме того,
г2в = г2/ = А,
где A2 = p/> = /t2a4cos2<p.
Из формулы (6) имеем
pr = r2e sin / • /,
откуда
«А . . г = — sin /.
Таким образом,
»2= г2 + г262 = ?— (1 -|- 2е cos / + е2)
или
v = ju. (7)
где
i/2=l+2<?cos/ + <?2. (8)
Используя равенства (1) и только что найденные формулы для г
и т. д., уравнения (2) — (5) можно привести к виду
а 2 R
1 — e2t v
U2, (9)
i = -2-?(* + cos /), (10)
ей = — 2-^-sin/, (11)
® = -24esin/(T+^7-^os?). (12)
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при /?=с®*г-Р
Предположим, что R дается формулой
R = cv*r~K (1)
Тогда, например,
а 2с _ . ...
- = -Т
Далее,
da а гг •
df / ** А а'
310
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Поэтому
da 2aclf1 I тГ-'г*-*'
df
!iacU2 V2-^
a /•
Выражение, стоящее внутри скобок, как легко видеть, равно KU'-'V9'2. где,
как и раньше,
Lft= 1 + 2ecos/+e2, (2)
К = (3)
V я 1 + в cos /. (4)
Уравнения (9) — (12) предыдущего параграфа теперь принимают вид % = (5)
^ = _ 2 cKlf-'V*-* (е + cos /). (6)
* = — 2 cklf-'V*-2 sin /, (7)
f = -2CKU*-V-i(T7Js?-^I),sl„/. (8)
Далее, U*~lV*~2 является четной функцией, которую можно представить рядом
Фурье
^0 "Н cos f —|— А<2 cos 2 f —|— • • •»
где
= ? / U"'V9-2df, (9)
о
*
^, = iJV-V?~2cos/<// (10)
о
2
о
и т. д. Поэтому, согласно уравнению (5), находим
•0=--------^[(A,+ Acos/-M2cos2/+. ...)Х
X(l+2#cos/ + «*)l«
^--SlC+Cicos/+C’cos2/H 1*
где
Cs=A0(l-\-e't)~\-eAl.
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при R — cv*r~9
311
Очевидно, что ыы можем записать С в виде
1C
‘=4/
Если U и V — величины положительные для всех значений ей/, то С
положительно при любых значениях а и р. То же самое справедливо для Д,.
Истинная аномалия / выражается через среднюю аномалию М посредством
уравнения центра:
/ = Л1 + (2е — ie3)SinAl+ ... .
Поэтому
df = ndt[\ +п. п.].
Следовательно, если Да означает изменение элемента а за промежуток
времени t, то
Д« = —Г^?.С/ + П.ч. (12)
Так как С положительно для всех значений а и р, то большая полуось
уменьшается, если R определяется формулой (1).
Аналогично из уравнения (6) находим
= — 2c/([i404->l1cos/4- ...]le + cos/] =
