Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
данного момента времени известны массы и орбитальные Элементы двух
планет. Формулы § 7.15 дают нам возможность вычислить D и Е, а значения
а, р и ар ^ получаются по формулам (12) и (13) § 13.02. Тогда значения gx
и g2 найдутся из квадратного уравнения (3) § 13.03. Исходя из известных
значений е и 5 в выбранную эпоху, за которую мы возьмем t = 0, для нее
вычисляются значения A (=esin<5) и A (=ecos&). Обозначим их и
соответствующие значения для А, и Ах через А0, А0 и (A,),,, (Aj)0. Далее,
положим
откуда легко вычисляются величины Рх и Р2.
Тем же путем мы составим два уравнения для А и Q, из которых могут быть
найдены величины и Q2. Тогда из равенств (1) можно будет определить
значения Mv М2 и с,, с2.
§ 13.05. Эксцентриситеты
Из формул (5) и (6) § 13.03 немедленно находим
ег = А2 _|_ *2 = М2 _|_ М2 _|_ 2М ,Ж2 cos [(?, — g2) t Н- с, — с2]. (1)
Кроме того.
trr_ h _ М1 sin (git + ср + Мt sin (gtt + ca) „
g k Mi cos (gttct)-\-M2 cos (gtt + c2) 1 ’
Для e\ и 5, получим два аналогичных выражения.
Равенство (1) показывает, что е является периодической функцией.
Максимальное значение е равно | | —|- | Л121. а минимальное —
IMJ — \Щ\> Период колебания равен 2w/|g'1 — g21.
рм;=(*-*,) м. w2=(o.-g2)Mr
(9)
Я, = Ж, sin с,, Р2 = M2s\nc2,
Qj = Mi cos cv Q2 = M2 cos c2.
(I)
Тогда формулы (5), (7) и (9) § 13.03 дадут
*о = р\ И" pv Р (Ai)o = (<* — ?i) Л + (* — Si) р2>
§ 13.06. Долготы перигелиев
265
Подставляя в это уравнение вместо р и р, их значения из формул (12) и
(13) § 13.02 и интегрируя, получаем
В случае Юпитера и Сатурна найдено, что период такого колебания равен
примерно 70 400 лет, а максимальное и минимальное значения е равны 0,060
и 0,026; соответствующие величины для Сатурна равны 0,084 и 0,013').
Тот факт, что значения е к ех лежат внутри ограниченной области, можно
непосредственно получить из уравнений (14) и (15) § 13.02. Легко видеть,
что
Pj (hh —J— kk) —(— p (AjAj —(— As,?,) = 0.
внение вместо p и p, их знач интегрируя, получаем
mna2e2+mxnxa2e\ = С, (3)
где С — постоянная.
Эта зависимость показывает 1) что, так как лил, имеют один и тот же знак,
то значения е и являются ограниченными, и
2) что е имеет максимум, когда е, имеет минимум, и наоборот.
§ 13.06. Долготы перигелиев
Из формулы (2) § 13.05 нетрудно найти
еЧ = gfl2 + g2M2 + (?, + g2) МгМ2 cos (9, — 02). (1)
где
01 = с\> ®2~ С2‘
Уравнение (1) может быть записано в виде
А (*i-ft)(**?-?**?) , 1, „х
ш — 2е3 ' 2 (2)
Без ограничения общности мы можем считать, что gx > g2. Кроме
того, нужно помнить, что И4, и М2 могут быть положительными
или отрицательными. Нам нужно рассмотреть два случая.
Случай 1. (г, + g2) | А1,Afa | > (gM2 + g2Mty.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде
е2ё = (gx + g2) МХМ2 [cos (0, — 02) — cos а], (3)
где а — наименьший положительный угол (0 < а < те), такой, что
gxM\ + g2M2
cos а = ?
') Эти величины, вычисленные для всех планет, приводятся на стр. 282.
266
Глава 13. Вековые неравенства
Уравнение (3) показывает, что ш имеет действительные точки возврата,
соответствующие
0! — 02 = а + 2/-ic (4)
или
01 — 02 = 2 лг — а, (5)
где г принимает целые значения.
Из уравнения (3) получаем
(е2) — *з) MiM2sin (01 — 62>
Следовательно, если М^М2 положительно, то максимальные значения 0! —
02, соответствующие точкам возврата, достигаются при
условии (4), а минимальные значения соответствуют условию
(5),
а если МгМ2 отрицательно, то точки возврата при значениях 0! — 02, данных
выше, меняются местами.
В этом случае экстремальные значения ш могут быть вычислены посредством
формул
A = esin<5, k = ecos&,
если А и е вычислены для значений t, соответствующих условиям
(4) и (5).
Случай 2. (ffi _|_ | MtM21 < + g2Mty.
Правая часть уравнения (1) положительна при всех значениях t. Отсюда
следует, что ш положительно и что ш с течением времени увеличивается.
Найдено, что случай 2 имеет место для Юпитера и Сатурна.
§ 13.07. Наклонности
В § 13.02 мы уже встретились с уравнениями
Р — а(Я\ —Я)> 4 = а(Р — Pi)- (1)
Pi = “i (<7 — <7i) Я\ = «1 (Pi — Р)- (2)
Решение этих уравнений можно найти из формул § 13.03, если
в них заменить р на а и р, на 04 и затем изменить знаки при а и
а,
на обратные. Если положить X — q-\-ip, то из уравнения (2) § 13.03 найдем
X —|— I (я —f- Я]) X = 0.
Подставим сюда X = Nel {Р+с). Тогда получим следующее уравнение;
/*+/(я + я,) = 0,
§ 13.07. Наклонности
267
корни которого равны —(a-f-c^) и 0. Таким образом, / отрицательно.
Следовательно, мы имеем
Так как из уравнений (1) и (2) следует, что <*/>, = О, то
N\ = — aiA/i/a. Кроме того, согласно первому уравнению (1), N2 = N2.
Поэтому решение уравнений для рх и qx можно записать в виде
где С'— постоянная. Эта зависимость аналогична интегралу (3) § 13.05.
Численные значения Nv N2 и cv с2 могут быть получены при помощи метода,
подобного тому, который был описан в § 13.04.
Для Юпитера и Сатурна период такого колебания равен около 50 700 лет. Для
Юпитера максимальное и минимальное значения
