Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
ь
дх„
ду0 ’
дР
дгв
(И)
Уравнение конуса с вершиной Р и основанием ?, имеет вид f(x, у, г) = 0,
где / — однородная квадратичная функция от л:, у и г. Рассмотрим,
например, интеграл (8), определяющий Рх. Подынтегральная функция имеет
нулевой порядок относительно х, у. z и поскольку x = uz, y — vz, то
выражение Рх через и и v показывает, что интегрирование может быть
проведено вдоль любого сечения косинуса.
§ 14.08. Конус с вершиной в Я и основанием Е\
Уравнение эллиптической орбиты планеты Рх, отнесенное к S/1,, как оси ?,
оси t\, показанной на рис. 25, и оси С, перпендикулярной
плоскости орбиты, имеет вид (S + a.g.)2
-t-1. С = 0.
Пусть а, р, 7 означают координаты планеты Р в этой системе осей.
Уравнение любой прямой, проходящей через Р, запишется в виде
«- л=1_,_т. а,
Если эта прямая пересекает Elt то будем иметь (а — /7+ tf tg,)a | (3 —
Щ)2
Л Г .
1.
(2)
296 Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Уравнение конуса с вершиной в Р и основанием ?, получается путем
исключения I и от из уравнений (1) и (2). Оно имеет вид
(3)
Перенесем начало координат в точку Р. Тогда если х, у, г — координаты
любой точки конуса, то
х = \— а, у = 7) — р, г — С — у, и уравнение (3) принимает вид
~ [гг (а И- ахех) — т*]2 + 4-1 — ТУ]2 = *2-
ai ь\
Оно может быть записано в виде
Ах2-\- By2-\-Cz2-\-2Fyz + 20 zx = О,
где, например, А = у2/а2.
Если /, т, п означают направляющие косинусы нормали к основной плоскости,
то
А1 -{- Grt Вт -{- Fn Gl -j- Fm -j- Cn ^
I m n ’
так что X является корнем уравнения
А — X О О О В — X F О F С — X
= 0. (4)
Легко видеть, что уравнение (4) приводится к виду X3 +• РХ2 + QX + а\Ь\у*
= 0.
Поэтому два из трех корней Хр Х^ Х3 будут положительными, а один
отрицательным. Пусть Х3 — отрицательный корень, так что Х3 = — X, где X >
0.
Уравнение конуса, отнесенное к главным осям, тогда запишется в виде
X,jf2 + Х2у2 — \г2 = 0, (5^
причем ось z есть внутренняя главная ось.
Будем понимать теперь под РХ, PY, PZ на рис. 24 главные оси конуса.
Направляющие косинусы I, т, п одной из этих осей относительно осей 5, 7),
С, изображенных на рис. 25, определяются
§ 14.09. Вычисление Рх и т. д.
297
равенствами
I m п
GQ. — B) ~~ F(к —А) (X — А)(к — В) '
где X теперь означает соответствующий корень уравнения (4).
§ 14.09. Вычисление Рх и т. д.
Согласно формулам (7) § 14.07,
— <0
где и — x/z и v = y/z и интегрирование производится вдоль любого сечения
конуса:
Xjjc2 + XjV2 — Xz2 = 0.
Возьмем сечение z = 1. Уравнение соответствующего эллипса имеет вид
Xjjc2 + Х2у2 — X = 0.
Положим
а2 — — а2 — —
v-i — X, ’ 2 — Х2 *
Так как предполагается, что корни кубического уравнения (4) § 14.08 X,,
Хз и X известны, то jij и р2 также известны. Уравнение эллипса теперь
примет вид
Будем считать, что (л1 > р2. Дальнейшие преобразования в случае Pj < jtj
аналогичны. Пусть 0 означает эксцентрический угол. Тогда jcsst^cosS, y =
p2sin0. Следовательно, так как z = 1, то
BrsjtjCosS, © = p2sin0.
Кроме того, из формулы (6) § 14.07 находим
f/2=l-|-«2-|-®2= 1 4-1*? — (t1-?—i*|)sln20 =|Jt2(l —>fe2sin2 0),
где
n2=i+tf.
Тогда формула (1) примет вид
298
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Аналогично
udu |*j л* sin 20 dO
U2 2{д.з J (i —gin2 0)e/a
o'
(3)
Рассмотрим прежде всего Qx.
1) Вычисление Qx.
Разбивая промежуток интегрирования в формуле (3) на две части от 0 до те
и от те до 2те, можно легко убедиться, что этот интеграл равен нулю.
Поэтому Qx = 0. Аналогично
Так как, согласно равенству (9) § 14.07, />ж + Су + /?г = 0, то мы должны
вычислить только две из этих величин, скажем Рг и Qy.
2) Вычисление Рх.
Пусть X дается формулой
Py = Q2 = Ry = P2 = Rx = 0. Формула (10) § 14.07 теперь примет вид
— Г sin 8 cos 0 1
]•
а0 LK1 —A3 Sin3 в J *
Легко видеть, что
у 1 — 2 sin2 0 k2 sin4 6
(1 — k2 sin2 О)’/»
Числитель этой дроби можно записать в виде
р[(1—*2sln20)2 —(1 — А2)].
*/2
Сле, С db = 0, мы имеем
о
Г -—,,, = Г /1— *2sin20rf0
J (1 — k2 sin* 0)*А 1 — k2J r
5
0
где E (k) — эллиптический интеграл второго рода. Далее, из формулы (2)
легко видеть, что
«/2
§ 14.10. Вычисление вековых неравенств
299
и так как
cos20~p[l —ft2 sin2 0 — (1 —Л2)],
то при помощи формулы (5) находим, что этот интеграл равен p[F(A) —
?(&)]. где F(k)— эллиптический интеграл первого рода, определяемый
формулой
Поэтому, согласно равенствам (9) § 11.07 и (5) настоящего параграфа,
будем иметь
Так как величина k предполагается известной, то численные значения E{k) и
F{k) могут быть найдены из таблиц эллиптических функций. Поэтому Рх, Qy и
Rz могут быть вычислены.
§ 14.10. Вычисление вековых неравенств
Мы будем рассматривать вековое неравенство [*2], определяемое уравнением
(4) § 14.05, именно:
в котором средняя долгота С заменена средней аномалией М.
Следовательно,
(б)
3) Вычисление Qy и Rz.
и/2
vdu 4(x1(xjt г sin2 0 dO
U3 (х» J (1 —Л2 sin2 0)*''* "
Но
(7)
Наконец, для Qy получим
п _ 4M-iM-a
q __________ •пмра
