Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
283
где через а обозначены величины g, фигурирующие в периодических членах в
эксцентриситетах и наклонностях, и величины а являются малыми; А и В—
малые постоянные. Таким образом, для данной планеты имеем
е = e0-f- At -|-п. ч.,
откуда средняя долгота I определяется по формуле / = (« + Л)/-Н0-Ьп. ч.
Наблюдаемое среднее движение планеты равно коэффициенту при t в этой
формуле.
§ 13.21. Общие замечания
Нужно помнить, что при исследовании, изложенном в этой главе, мы
отбросили 1) все периодические члены возмущающей функции и
2) все члены четвертого и более высокого порядка относительно
эксцентриситетов и наклонностей из непериодической части возмущающей
функции. При этих упрощениях мы видели, что А и ft можно представить
суммами некоторых периодических членов, которые для данной планеты мы
можем записать в простом виде:
A s е sin m = 2 Mr sin (gtt -j- cr), k = e cos S> = 2 Mr cos (grt -f-
cr).
Пусть e0 и ffi0 — значения этих элементов в эпоху / = 0 и пусть в
последующий момент t
е = е0 -|- Де, <й = Wg-f- Дй.
Если t мало по сравнению с наименьшим из периодов 2ic/gr, так что
величиной (grt)2 можно пренебречь, то
Де sin й0-{- е0 Дй cos й0 = 12 Sr^rcos cr*
Де cos й0 — e Дй sin й0 = — /2 Sr^rsln cn
откуда
Де = t]?grMr sin(fi0 — c,).
Этот последний результат показывает, что при указанных ограничениях
истинное изменение е практически не отличается от векового изменения.
Аналогичный результат справедлив также и для наклонностей. Это дает
основание считать, что появление векового члена, например в
эксцентриситете, который найден при решении уравнений Лагранжа методом,
указанным в гл. 6, является результатом применения ана-
284
Глава 13. Вековые неравенства
логических операций, присущих этому методу. Аналогичное замечание
относится и к наклонности.
Если отбросить ограничения, упомянутые в начале этого параграфа, то
проблема устойчивости планетной системы в том смысле, что элементы а, е и
к представимы сходящимися периодическими рядами, очень сложна и до сих
пор не получила точного решения. С другой стороны, буквенное решение
Делонэ в задаче о движении Луны указывает на гравитационную устойчивость
в указанном смысле (хотя вопрос о сходимости различных полученных рядов и
является крайне сложным) и, в частности, показывает, что вековые и
смешанные члены могут быть представлены в виде чисто периодических
членов.
Глава 14
МЕТОД ГАУССА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 14.01. Введение
Рассмотрим уравнение (10) § 5.10:
2 =---------—i—------------------------------(1)
па2 V1 — ег sin i di
Если возмущающая функция R разложена в ряд обычным способом, то
интегрирование уравнения (1) при условии, что в правой части все элементы
рассматриваются как постоянные, приведет нас к формуле (4) § 6.03:
Q = ?20 —(— —|— п. ч. (2)
Можно сказать, что решение (2) является точным до первых степеней масс
двух рассматриваемых планет. Эта степень точности достаточна для
настоящей цели. Член It в формуле (2) называется вековым неравенством.
Конечно, функция R имеет сложный вид, и отыскание численного значения X
является долгим и утомительным делом. Это же замечание можно сделать и о
вековых неравенствах других элементов. Метод, предложенный впервые
Гауссом1), дает возможность найти численное значение X без
предварительного разложения возмущающей функции. Он требует лишь, чтобы
для некоторых выбранных моментов времени были известны численные значения
координат планеты Р (или какого-либо другого тела) и возмущающей планеты
Рх в предположении, что оба тела движутся по эллипсам. Этот метод был
использован во многих практических задачах.
§ 14.02. Ортогональные составляющие S, Т и W ускорения
Пусть на рис. 23 О означает Солнце, Р — интересующую нас планету и А —
точку на небесной сфере с центром в О, соответствующую планете Р.
Относительно обычной основной плоскости координаты планеты Р обозначим
через х, у, z, а координаты возмущающей планеты Рх с массой тх — через xv
yv zv Для удобства мы положим % — Gmv
>) См. TIsserand, M6canlque C6leste, I, 431, 1889.
286
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Пусть хS, хТ и xW составляющие силы притяжения планетой Рх единичной
массы, помещенной в точке Р. Они определены следующим образом: xS
направлена вдоль радиус-вектора ОР (или ОА),
хТ —- перпендикулярно радиус-вектору в плоскости орбиты (параллельно OB),
xW — перпендикулярно плоскости орбиты (параллельно ОС).
Пусть направляющие косинусы прямых ОА. ОВ и ОС равны mv «р /2, щ, п2 и
/3, т3, я3. Тогда, если через и обозначить дугу NA, то
Выражения для остальных направляющих косинусов совпадают с выражениями
(3) — (5) § 5.06, если в них заменить <о на и. Далее, производные от /, и
т. д. по 2, и и / найдутся из таблицы § 5.06, если в ней ш заменить на и.
Если /—истинная аномалия, то
Но dR/дх, dR/dy, dR/dz — составляющие силы притяжения планетой Рх
единичной массы, помещенной в точке Р по осям ОХ, ОУ, OZ. Поэтому
Z
Рис. 23.
