Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
p = Nx sin (ft + с,) + N2 sin c2, q =NX cos (ft + c,) + N2 cos c2.
(3)
(4)
Аналогично
/>, = N\ sin (ft -f c,) -f N'2 sin cv qt = N[ cos (ft + Ci) + N’t cos cr
P\ = —^NX sin (ft -f c,) -f N2 sin c2, qx = — ^-1V| cos (ft -f- c{) -f-
N2 cos c2.
(5)
(6)
Из формул (3) и (4) получаем
т2 = N\+N\ + 2NxN2 cos (/* +с,— c2).
(7)
b|w,| + |w,| Я |3-|ЛМ-М|-
Период колебаний равен
«+«, ‘
Из уравнений (1) и (2) легко видеть, что
*i iPP+ЯЯ) + «(PiPi + ?i?i) = 0.
поэтому
(8)
268
Глава 13. Вековые неравенства
наклонности I (=arctgf) равны примерно 2° 2' и 1°17'. Соответ-
ствующие величины для Сатурна составляют 2Э 33' и 0° 47'.
§ 13.08. Долготы узлов
Так как tg 2 == pjq, то из формул предыдущего параграфа мы получаем
t„o_ N\ sin (ft Ci) —[- iVa sin c3 ,n
ё N, cos (ft -(- Ci) + Nt cos c2 ’ ' '
откуда
r2Q = fN\ + /NiN, cos 6. (2)
где
6 — ft —1~ C| — C2,
Случай 1. |N2| > |Л^|.
Пусть p означает наименьший положительный угол (0 < р < it) такой, что
a Nx
COS Р = -щ .
Тогда из формулы (2) имеем
•jJ2 = /NjNj (cos 0 — cos Р).
Если Nj и N2 одного знака, то 2 имеет максимальное значение при 6 = р —J-
2/-1С, а минимальное значение, когда 0 = 2пи— р, причем г — целое число.
Если Nx и N2 имеют противоположные знаки, то точки возврата при указанных
значениях 6 меняются местами.
Экстремальные значения 2 могут быть вычислены тем же самым методом, что и
в случае ш.
Найдено, что для Юпитера и Сатурна 2 колеблется, причем амплитуда
колебания для Юпитера равна примерно 13°,2, а для Сатурна — около 31°,9.
Случай 2. |Nj| > |Л72|.
Поскольку / = — (a + «i) отрицательно, то в этом случае 2 будет
отрицательным для всех значений t. Следовательно, 2 уменьшается со
временем.
§ 13.09. Взаимная наклонность двух орбит
Пусть на рис. 22 ср означает наклонность одной орбиты по отношению к
другой. Тогда по формуле косинусов имеем
cos <р = cos / cos lx + sin 1 sin li c°s (2i — 2).
откуда
1 - 2 sin* | = (1 - 2 sin2 4) ('l - 2 sin2 + PPi + qqv
§ 13.10. Уравнения для п планет
269
Отбросим члены порядка f4. Тогда
4 sin2 J = р2+q1 -4- р\ + ?2 — 2ррх — 2qqx =
= (Р — Pi)2 + (q — ?i)2-
При помощи формул (4) — (7) § 13.07 последнее равенство приводим к виду
4sin’| = (l+^-)2M.
Таким образом, с указанной степенью точности взаимная наклонность двух
орбит есть величина постоянная.
§ 13.10. Уравнения для п планет
Рассмотрим планеты Рх, Р2 Рп с массами mx, m2 mn.
Пусть Nr означает непериодическую часть возмущающей функции для планеты
Рх. Тогда в соответствии с формулой (10) § 13.02 Nx определяется формулой
N, = О S тр1}(h\ + k\-p\-q\+h) + k)-p)-q) +
+ %PiPj-\-2qxqj) — 20^2 (*ihj+kxkj), (1)
в которой Dxj и Exj— симметричные функции ax и а}, причем последние, как
и в § 13.02, рассматриваются в этом исследовании как постоянные.
Уравнения для hx и kx имеют вид
: _ 1 dNx •__________1 dNx
1 nxd^ дкх ' 1 пхах dhx
Положим
(3)
"А "А
270
Глава 13. Вековые неравенства
Мы будем предполагать, что т, п и а для каждой планеты известны.
Следовательно, известны также все (/, J) н [/, /].
Первое уравнение (2) принимает вид
*1 —Л,21(1. J) + in. У1 Ау = о
У=2 /=2
ИЛИ
п
Aj — CjAi -j- 2 [1» j\ kj = 0>
2
где, вообще говоря, полагается
д У**. (4)
/=i
Аналогично второе уравнение (2) примет вид
At + C^-ijll. У|Ау = 0.
У=2
В общем случае м:т имеем уравнения
А, —С,Л, + У] /еу==0. (5)
kl + Clh,— 'Zli.J]hj = 0. (6)
причем j ФI.
Из формул (3) находим
г 20 У rtii/n I Ей г- г-----
Ymini «i [*. У1 = yr—aiaj • тЛ aJ ~ BU VmjnJ aJ> (7)
где В и — симметричная функция от т, и т.], nt и n/t at и aj.
Следовательно, имеет место важное свойство
Вц = Вп. (8)
Кроме того, так как т, п и а рассматриваются как известные
величины, то значение любого В может быть найдено посредством
формулы (7).
Положим
Hl = Ymt^tatllt' Kt = Ymflt a fa. (9)
Умножим уравнения (5) и (6) на Yminiai' Тогда, используя формулу (7),
получаем
Hi-ciKi+'2BljKj=о, (10)
j
й+ад-Sv/^o. GO
j
где J + l, а величины В и С рассматриваются как известные.
§ 13.11. Решение уравнений, определяющих Н и К
271
Пусть
2F=i Ct{H) + Kl)-? '2lBlJ(HiHJ + KlKj), (12)
i=i i=i }=\
где j Ф l. Тогда, используя свойство (8), мы найдем, что для всех
значений / уравнения (10) и (11) принимают вид
Й‘=ж- (13>
Эти уравнения имеют каноническую форму, причем F является функцией
Гамильтона. Из уравнений (10) и (11) получаем
2 (ВД+W-2 2 Вц (.HiKj - KtHj)=0.
i=i /=i j=\
Так как в двойной сумме ]Ф1, то, согласно свойству (8), она равна пулю.
Поэтому
2(я?+л1)=*2 (14)
I
или
'Siminla)e] = y?. (15)
где х — постоянная.
Эта последняя зависимость является обобщением зависимости
(3) § 13.05. Так как величины п{ имеют один и тот же знак во всей
планетной системе, то равенство (15) показывает, что значения
эксцентриситетов ограничены, или, другими словами, ни для какой планеты е
не имеет векового члена.
Заметим, что поскольку F не содержит явно времени, то уравнения (13)
допускают интеграл
F = const. (16)
§ 13.11. Решение уравнений, определяющих Н и К
