Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
US = KS + IHS, (1)
где теперь I означает Y—Тогда из уравнений (10) и (11) преды-
дущего параграфа имеем
Us-lCsUs + l'2lBsJUJ = 0. ]ф5. (2.
Положим
(Js = Pfe‘<&+*). (3)
272
Глава 13. Вековые неравенства
Тогда
(g-CJP' + ^B'jPj** 0. J + s. (4)
Полагая последовательно 5=1, 2 п, мы получаем следующую
группу уравнений:
(?-0,)^+ В12Р2 +513Я3+...+ В1аР л =0.
^21^*1 -{-is ^2) в2+в^рг + • • • + в2прп = о, ^
+ вп2р2 +.+ig-cn)Pn=0.
Поэтому g является корнем уравнения
Д — 0, (6)
где
S-C, В12 • • • В1а
д= в2, g — c2 ... Вгп
Ял. Вп 2 s-cn
Уравнение (6) имеет п корней glt g2 gn, которые, как мы
увидим позже, все являются действительными. Кроме того, мы будем считать,
что они различные.
Предположим теперь, что корни уравнения (6) вычислены.
Подстановка (3) показывает, что общее решение уравнения (2) может быть
записано в виде (5=1, 2 п)
U, = Мие‘ igit+ci) + M2sel (<rs,+fs) + ... + Mtlse' ignt+cn), (8)
где с и Af — постоянные, причем последние не все являются независимыми. В
частности, если обозначить е1 igrt+cr) через Ег то
(/1 = Afn?I + Al21?2 + ••• + Мд1?я. (9)
Поскольку постоянных интегрирования должно быть 2л [каждое
из уравнений (2) при 5=1, 2 л эквивалентно двум уравнениям
для действительных переменных], мы можем рассматривать л величин с и Afn,
Af21, .... Afnl в качестве постоянных интегрирования.
Подставим выражение (8) в уравнение (2) и приравняем коэффициенты при ?,.
Тогда, полагая последовательно 5=1, 2 л—1.
получаем л — 1 уравнений
(?l С1)Мп-\- #12^12 + ^13^13 + Я1пА4,„ = 0,
^21^11 + iS\ —^2) ^12 +^23^13 + Я2„А41л =! О*
Ви-\,\Щ\ + вп-\,гм\1 + •••• +(ffi—^л-1)уМ1л = °-
§ 13.12. Лемма
273
Этих уравнений достаточно для того, чтобы определить отношения
ма. Af13 Afln к Жц.
Аналогично, приравнивая коэффициенты при Е2, мы можем определить
отношения М22, М23 М2п к М21 и вообще отношения
Afr2, Afrg, •.., Л1ГП к Л1г1.
Ниже мы увидим, как можно найти численные значения величин М, если
значения е и <5 для некоторой эпохи известны.
§ 13.12. Лемма
Общее решение (8) § 13.11 можно переписать в виде
*/,=? ад- (о
<=1
Подстановка его в уравнения (2) § 13.11 дает
2 (gt - Cs) ВД + 22 BsjMtjEt = 0, /фз,
откуда, приравнивая коэффициенты при Et, получаем
(gt-cs)Mts+'2>BsjMtJ=o.
Аналогично
{gr-Cs)Mrs + ^BsJMrJ = 0.
Исключим из этих уравнений Cs. Тогда
(St — Sr) MisMrs = — 2iBsJ — MtsMrj).
Просуммируем no 5 от 1 до я. Тогда получим
сst - Sr) 2 MtsMrs=-22 Bsj {Mt) Mrs - MtsMrJ),
5=1 У 5=1
где j^s. Так как Bsj — Bjs, то двойная сумма в правой части этой формулы
равна нулю. Следовательно, если корни gt и gr различные, то
П
2 MtsMrs = 0, t ф т (2)
5=1
или, меняя местами s к г,
п
2^А=о. tфs, (3)
Г=1
1§ У. Смарт
274
Глава 13. Вековые неравенства
§ 13.13. Вычисление постоянных интегрирования
п
Согласно формуле (1) § 13.12, Us = 2 Умножим это ра-
/=i
венство на Mrs и просуммируем по s от 1 до п. Тогда
2 Mrsus = 2 2 MrsMtsEt = 2 Щ?т+ 2 ?, 2 m,sm1s,
5»1 5= 1 Ы1 5s 1 t S~ 1
где в двойной сумме в правой части t Ф г. Согласно равенству (2) § 13.12,
двойная сумма равна нулю, поэтому
5*1 5*1
Приравняем мнимые и действительные части. Тогда для данного г будем иметь
МТ\Н\MriH2... МгаНп = {М2п-\- ... +M?„)sin(gr/ + cr),
(1)
MfiKi + MftKl + ••• + MrnKn = + ... + COS (grt -f- сг).
(2)
Для момента / = 0 могут быть найдены величины А, (=^81пш{) и ki
(^elcos&l). Затем могут быть получены величины Ht и Kt. Подставим эти
значения в равенства (1) и (2) (для упрощения мы не будем вводить для них
специальных обозначений). Тогда будем иметь
и аналогичное уравнение для Afrlcoscr.
Пусть Хт означает правую часть формулы (3), a Yf — соответствующую
величину в выражении, содержащем К• Тогда
Mrl sin сг — Хг Мп cos cr = Yг
где величины Хг и Yr рассматриваются как известные, ибо могут быть
найдены методом, описанным в § 13.11. Вычисление МгУ и ст тогда можно
выполнить без труда.
Определение Н и К теперь формально завершено. По формулам (9) § 13,10 мы
находим h и k. Из формул (1) и (8) § 13.11, прирав-
§ 13.14. Корни уравнения, определяющего g
275
нивая мнимую и действительную части, будем иметь
Л, = sin (*,/ + «,).
(4)
Ks = 2 Mrs cos (grt + с,),
Г=1
а из формул (9) § 13.10, полагая Drs — Mrs/Ymsns as> находим
П It
A, = 2 Drs sin (Sr* + c,). A, = 2 ?>„ cos ^ H- cr).
r-1 r=l
§ 13.14. Корни уравнения, определяющего g
Мы считали, что корни g2, .... gn уравнения Д = 0 [формула (6) § 13.11]
все действительные. Допустим теперь, что два из них, скажем gx и g2,
являются комплексными. Тогда они должны иметь вид
gi — u — iv, g2 = u-\- if),
где мы предполагаем, что v положительно, причем и и v являются
действительными. Формула (8) § 13.11 для U теперь дает
Us — Mlsevl • е1 -f Мъе-°* • е1 (“'+«*> + п. ч.
Положим
01 = «* + Ci. Q2 = ut + c2, 0 r = grt + cr.
Тогда, приравнивая мнимые и действительные части, получаем
П
//l = Al1Jet',sin61-f-.M2je~t',sin62-f- 2 Mrjsin6r,
г-3
Ks = Mlsevt cos 0j -f- M2se~vt cos 62-|- 2 Mrs cos 0r.
r=a
Поэтому
