Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
/г; V, g'. h' для обозначения переменных до и после преобразования и Ra,
В, A, q, q' — для обозначения соответствующих функций и т. д.
254
Глава 12. Теория Луны Делонэ
и аналогичными формулами, содержащими g и Л, причем канони-ческими
постоянными являются L = $G = P2> ^==?з-
3) Когда все периодические члены будут исключены, оконча-
тельные уравнения запишутся в виде
ш dRo ! ____ dR,
L дГ' ~ дГ
плюс аналогичные уравнения для G, g\ Н, А. Здесь /?„ = — В. Поэтому L, G
и Н — постоянные. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае запишется в
виде
— B(L, О, Н) — О,
а его решение дается формулой
S = Bt + (!)L + (g)0 + (h)H.
Интегралы канонических уравнений тогда будут иметь вид / = (/) + /„/. * =
(*) + */. Л = (А) + А0/.
где
. _ дВ _ дВ _ дВ
6L ' ^0 — да' Л°— дн
и
L — const = L0, G = О0, H = #0.
§ 12.17. Практический метод получения решения при первой операции
Мы рассмотрим здесь первую операцию Делонэ, хотя этот метод применим к
любой операции.
Так как возмущающая функция выражена через величины е и (=tgQ, то метод
решения канонических уравнений, описанный в § 12.04, включает в себя
преобразование величин а, е и *р входящих в коэффициенты А и В функции
Гамильтона /?0, которая дается формулой
/?0 = —В —Л cos0. (1)
в величины U, G', Н'. На практике оказывается более выгодным сохранять в
выражении для R0 величины е или 7 неизменными и отыскивать окончательное
решение описанным ниже методом, основанным на замене L' (или L/i) через е
или -р Мы рассмотрим первую из этих замен.
1) Перепишем модифицированные неугловые переменные Делонэ,
определяемые формулами (6) § 12.01:
L = tL' = У\Та. G = Y^a (У 1 - е2 — 1), (2)
Н = y"[ia (1 — е2) (cos / — 1) = — 2 sin2 \ (1 — е2) . (3)
§ 12.17. Практический метод получения решения
255
Из § 12.07 имеем два интеграла канонических уравнений
0 = |z.+ G' = yZ/ + 0' (4)
и
H = jL + H' = kL' + H'. (5)
где G' и Н'— постоянные.
Основные уравнения (2) и (3) § 12.04 имеют вид
V = /4 sin 9, (6)
6 = -3F-+W-“s9- ОТ
2) Из формул (2) и (4) получаем
и = 77-z— /у (8)
Таким образом, V может быть выражено степенным рядом относительно е и
через G'. Далее, L2 = ца = PL'3. Поэтому а может быть выражено через е и
G' и разложено в степенной ряд относительно е.
Вид формулы (3) показывает, что вместо tg / = у удобнее использовать
величину sin-^-, которую мы обозначим через f,. Поэтому
мы будем считать, что возмущающая функция выражена через f,. Из формул
(3) и (5) имеем
*+??
5У!=У- (9)
Подставим в формулу (9) выражение (8) для V. Тогда у2 можно будет
представить в виде ряда по степеням е с коэффициентами, зависящими от G'
и Н'.
3) При помощи формулы (8) мы можем преобразовать уравнение (6); оно
примет вид
*lp- = 2lV2=?(yT=e?-l (10)
где А, вообще говоря, есть функция а, е и f,. Поэтому, так как а = а(е,
G') и = G', #'), то правая часть уравнения (10)
может быть представлена в виде А1(е, G', Н') sin 6. Следовательно,
?Цр- = Л (е, O', Н') sin 0. (11)
256
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Рассмотрим теперь уравнение (7). Так как Вх и А — функции а, е и 7,, то
мы будем иметь, например,
дА дА да , дА де . дА ду,
дУ — да ' дУ “Г де ' dL' dn ' dL' ’
но pa = L? = PL'*. Поэтому
да _ 2РУ дУ~ р *
Следовательно, да/дУ можно выразить через е и О'. Кроме того, из формулы
(8) имеем
е де О' дУ У* ’
Таким образом, de/dL' может быть также выражено через е и О'. Далее,
из формулы (9) мы можем найти производную <??,/<??/,
которая имеет более сложный вид, но также может быть выражена
через е, O' и Н'. Аналогично дА/да, дА/де, могут быть
выражены через е, G' и Н'. Очевидно, мы можем уравнение (7) записать в
виде
0 = / (е, O', H')+F(e, O'. Н') cos 0. (13)
где / и F — ряды по степеням е.
Решение уравнений (11) и (13) может быть найдено методом последовательных
приближений в виде
e2 = e2+2«„cos/>e0(* + O. (14)
в == ®о (* + с) + 2 ®psln P%(.t + с), (15)
где е0 и с — постоянные интегрирования, а ер. 0р и 0О — функции е0, Н' и
О'.
Очевидно, что, воспользовавшись равенствами (8) и (14), мы
можем представить а в виде следующего ряда:
« = «о+ S «р cos р% V + с)- 0 6)
Аналогично из формулы (9) можно найти
Т? = 'Г§+2т;соз/>0о(/ + С). (17)
В формулах (16) и (17) а и ^ — функции е0, G' и Н'.
Следовательно,
а0 = а0(е0, O', Н'), То = То («о* н')-
Решая эти функциональные уравнения, найдем
G' = G' (а0, е0, Jq), Н' — Н' (а0, е0. (18)
§ 12.17. Практический метод получения решения
257
Подставляя в коэффициенты формул (16), (14) и (17) вместо G' и Н' их
выражения (18), мы получаем
a = aQ + '2iApcosp%(t-\-c), (19)
e2 = e\ + '2iEpcosp%(t-\-c), (20)
7i = 7o+2rpcosjp90(/ + c). (21)
где А, Е, Г и 0О — функции а0, е0 и т0.
Очевидно, что мы можем получить из формул (20) и (21) ряды для е и Эти
ряды запишутся в виде
е — е0-\-'%ЁрСО$рЪьЦ-\-с), (22)
T1 = To+2rpcosjp0o(^+c). (23)
4. Рассмотрим теперь угловые переменные V, gr, Л'.
Так как 0 = V -J- qnxt -(- qr, то из формулы (15) мы немедленно получаем
I' = %(t + c) — qnxt — q' -j- 2 Op sin pbp (t -f- c). (24)
