Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
где е и а> — постоянные и p = h2/\x.
') Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 1923, p. 88.
318
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Подставляя это выражение для и в член ли2 уравнения (1), мы будем иметь
+ « = +^сО8(О-й)+^соз2(0-й). (4)
где
а . 1 ,\ 1 ае1
в1 = 711Ч"2 *) И а2=2—•
Если решение уравнения (4) обозначить через и-}-Да, где а дается формулой
(3), то
^ (Да) + Да = ^ + Ц- cos (9 - в) + ± cos 2 (0 - «5).
Наша задача сейчас заключается в том, чтобы найти частное решение этого
уравнения. Это решение легко находится с помощью элементарных методов и
имеет вид
Да = —|- -р- 9 sin (0 — й) — -д- -у- cos 2 (0 — й).
Решение уравнения (1) с точностью до величины порядка л тогда запишется
следующим образом:
а = -i [1 + <?cos(0—ш)1 + ^ + р- 0 sin(0—ffi)—-cos 2 (0—й). (5) Пусть
a0 = J-[l — <?0cos(0 — Й0)] (6)
есть уравнение оскулирующего эллипса для эпохи, соответствующей в — в0.
Тогда, согласно § 15.03,
«о(0о) = «(0о) (7)
и
duQ du а а /Л
ЧГ = Ж при 0 = в°- (8>
Далее, р0 отличается от р на величину порядка а. Поэтому мы
можем написать
?°- = lJrka,
Р
где k — постоянная. Тогда, подставляя в равенство (7) выражения (6) и
(5), мы получаем с точностью до малых порядка а
е0 cos (0О — й0) = kxa -f- е (1 -f- Аа) cos (0О — й) +
-f-y 0oSin(0o — &) — ia2cos2(0o — й) .... (9)
где Aj—постоянная.
§ 15.11. Вековое движение перигелия Меркурия
319
Подставляя в равенство (8) выражения (6) и (5), аналогичным образом
получаем
е0 sin (0о — ш0) = е (1 ?+ k-p.) sin (0О — ш) —
— 0Оc°s(0о — “)— -|-a2sin 2(0О —ш), (10)
где k2 — еще одна постоянная.
Умножим равенство (9) на sin (0О — <5), а равенство (10) — на cos(0o —
<5) и вычтем; получим
4in (<50 — “) = -J- 0о + а 2 С‘ sin ^
где 1—\, 2, 3, а С,— постоянные.
Умножим равенство (9) на cos(0o — <5), а равенство (10) — на sin(0o — ш)
и сложим; получим
е0 cos (й0 — ш) = е -|- ka. -|- а ^ Dt cos I (<50 — 5). (12)
Положим
а>0 — ш = Л0ш, е0 — е = Д0е.
Из формул (11) и (12) легко видеть, что Д0<5 и Д0? имеют порядок а и что
Д0? является чисто периодической величиной. С точностью до малых величин
первого порядка относительно а (включительно) формулу (11) можно записать
в виде
Дош = у0о-|-п. ч. (13)
Если и Sj — оскулирующие элементы в последующую эпоху 0„ то
Д,ш = у0,-(-п. ч. (14)
Далее, если положить О, = 0о-(-2тс, то из формул (13) и (14) видно, что
оскулирующий элемент <о0 увеличивается на 2ка/р за один оборот. Если X
означает коэффициент при вековом члене, происходящем от этого эффекта,
выраженный в секундах дуги за столетие, то
, 2ка 100 . „
X = — • -=-cosec У,
Р Т
где Т — период обращения, выраженный в годах. Используя равенство (2) и
полагая р. = п2а3 = -Й- а3 и р~ — — а( 1 — е2), послед-
^ (X
нюю формулу можно записать в виде
, _ 2400тс3я2 cosec 1" /( рч
с2Т3(1 — ег) *
320
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Так как с = 299 776 км/сек = 9,46- 1012 км/год, то
v 9,46.10»
150
а. г./год.
Если а выражено в а. е. и Т — в годах, то, пренебрегая массой планеты,
имеем а3 = Т2. Следовательно, подставляя численные значения с, it и cosec
1", формулу (15) запишем в виде
3,841
Х= Ji-e>)aT • <16>
Для Меркурия а = 0,3871, Г = 0,2408 и е = 0,2056. Поэтому Х = 43",0 за
столетие, что очень хорошо согласуется с расхождением между наблюдениями
и теорией Нью гона.
Фактически теоретической величиной, которая сравнивается с наблюдениями,
является не X, a eh Следующая таблица дает вычисленные значения е\ и X
для четырех ближайших к Солнцу планет:
Меркурий Венера Земля Марс
е\ 8",82 0",06 О'.Об 0",12
X 43,03 8,63 3,84 1,34
Как уже упоминалось, релятивистский эффект подтверждается в случае
Меркурия. Недавно аналогичное подтверждение получено в случае Земли,
несмотря на то, что наблюдаемая величина еХ здесь составляет не более
0",06 в столетие. Так как наблюдаемый эффект увеличивается со временем,
то можно предположить, что в свое время мы получим подтверждение, по
крайней мере в случае Марса. Из формулы (16) видно, что для Юпитера и еще
более удаленных планет вычисленные значения X достигают самое большее
лишь несколько сотых секунд дуги, а величины е\ практически пренебрежимо
малы.
Глава 16
ОТКРЫТИЕ НЕПТУНА
§ 16.01. Введение
Планета Уран была открыта Гершелем 13 марта 1781 г. во время одного из
его систематических наблюдений неба. Другие планеты, более близкие к
Солнцу, чем Уран, были известны со времен глубокой древности, и это
открытие Гершеля положило начало плодотворной эре астрономических
открытий, в которую он сам внес наиболее значительный вклад. Так как
новая планета была немного слабее звезд, видимых невооруженным глазом, то
этот факт побудил немецкого астронома Боде предположить, что в прошлом
Уран ошибочно принимали за звезду, и поэтому его наблюдения могли бы быть
зарегистрированы в каталогах тех времен. Когда элементы орбиты новой
планеты были вычислены с достаточной точностью для определения ее
положений на годы, предшествующие ее открытию, оказалось, что результаты
