Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент сопротивления, входящий в (8.9), определяется формулой"
(8.5). Если режим течения в пограничном слое не будет ламинарным, то
значение коэффициента С{ необходимо взять из соответственных формул для
сопротивления трения пластинки при турбулентном режиме либо из
результатов соответственных экспериментов.
§ 9. Пограничный слой на теле вращения
Дифференциальные уравнения установившегося движения несжимаемой жидкости
в цилиндрических координатах в предположении, что движение жидкости
является осесимметричным, т. е.
". = °. т^-о. <9Л>
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
принимают следующий вид:
dvr , dvr 1 др
дг
_i_w + _ЕЛ
Н хдх~ р дг * V r W'
vr
dv.
dv"
dr+V>
d (rv:,.)
___X .
(r) dx
p dx^
d (rvr)
dx
Д =
dr2
= 0,
dx'J'
(9.2)
Рассмотрим случай обтекания безграничным потоком тела вращения, имеющего
уравнение поверхности
г о = го(х)-
(9.3)
При этом предположим, что начало оси л: расположено в
передней
критической точке (рис. 74). Благодаря тормозящему действию не-
подвижной поверхности и вязкости жидкости образуется пограничный слой,
облегающий всю переднюю часть поверхности тела. Если исключить из
рассмотрения ту небольшую часть пограничного слоя вблизи самой
критической точки, то толщина слоя, отсчитываемая по нормали к
поверхности тела, будет мало отличаться от разности значений
цилиндрического радиуса г, взятого для точки на границе слоя и для точки
с той же абсциссой на поверхности тела
r0 = h.
(9.4)
Следовательно, за меру толщины слоя можно взять h. Будем, далее,
предполагать отношение условной толщины слоя h к соответственному радиусу
поверхности тела г0 настолько малым, что им можно пренебречь, т. е.
А --л (9.5)
го
:0.
Полагая для точек внутри пограничного слоя
г = г0-\-у,
будем иметь:
(9.6)
{dr)x=const - dy,
и поэтому дифференцирование по г можно заменить дифференцированием по у.
Но в силу предположения (9.5) мы можем, например, в третьем уравнении
(9.2) заменить г через г0. Таким образом,
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ
297
уравнение несжимаемости для пограничного слоя на теле вращения можно
представить в виде
д ко (*) vx
дх
[rQ{x)vy\ - 0.
Если положить
X - lxv
ду I'OW ^'у
r=4'.
у ~ уйУ1'
vx = Uuv vy
U
Y* 1
(9.7)
(9.8)
и в уравнениях сохранить лишь члены порядка единицы, то из пер* вых двух
уравнений (9.2) можно получить те же уравнения, которые
были получены в § 1 для
плоского пограничного слоя, др
т. е.
ду
= 0,
dvx
' дх
dva
' ду
1 др
р дх
d%vx I ду2 • J
(9.9)
К тем же уравнениям (9.7) и (9.9) можно прийти и не прибегая к уравнениям
(9.2) в_ цилиндрических координатах, а используя криволинейные координаты
х и z на самой поверхности тела и направление нормали к этой поверхности.
При этом начало отсчёта криволинейной координаты х берётся в критической
точке, а дополнительные слагаемые за счёт криволинейности линий х и у не
учитываются.
Следуя Е. И. Степанову1), приведём уравнения (9.7) и (9.9) к тому виду,
который имеет место для пограничного, слоя на соответственном плоском
контуре.
Введём следующую замену координат и скоростей:
х = 7г У = тУ'
lv"
I
1Гп
=
(9.10)
¦yvx.
где масштаб длины I введён для сохранения размерностей координат и
скоростей. Скорость частиц на границе слоя с внешним потоком выразим
также в виде функции от новой координаты х, т. е.
U(x) = U(x). (9.11)
^Степанов Е. И., Прикл. матем. и мех., т. XI, № 1, 1947.
298
Так как
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
дх дх'
Р
О,
ду _г"
дх
дх fry
дУ_[о ду I
= ~гУ> 7^ = -Г
[ГЛ. VIII
(9.12)
то получим: dv,
X
дх
dv" дх се
dv" ду Л
dv_
дх дх dvx _ dvx дх ду "
= U>^. I"-ду дх /2 дх I ду
dU
дх
дх ду дй г\
_^х_ду_ - ?о fax ду ду I ду ' ->2
d*v"
2 л2-
ГЛ dJ4z
/2 ду
(9.13)
дх /2 ду2
и, следовательно, уравнения (9.9) и (9.7) принимают вид
дх у ду дх.
дУх . дУу _ дх ду
д8 Рд,
dy
(9.14)
Граничные условия для уравнений (9.9) и (9.7) имеют вид: при _у = 0 vx
- 0, vy - 0, 1
при у - Ь
vx = U,
dvx
ду
0.
(9.15)
Если воспользоваться преобразованиями (9.10), то из условий (9.15)
получим:
при у = 0 при у
vx-Q, vu
0,
s г°8 5 = Т
vx = U{x), ^ = 0. }
(9.16)
Таким образом, для изучения движения жидкости в пограничном слое при
осесимметричном обтекании тела вращения достаточно провести решение
уравнений (9.14) для плоского пограничного слоя при условиях (9.16) и
затем воспользоваться формулами преобразований (9.10).
Между прочим, заметим, что при обтекании безграничным потоком
цилиндрической трубы в продольном направлении будем иметь:
г0(х) = const,
и уравнение несжимаемости (9.7) переходит в уравнение несжимаемости для
плоского потока. Следовательно, в том приближении, в котором составлены
уравнения (9.7) и (9.9), пограничный слой для
§ 9] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ 299
внутренней поверхности трубы будет одинаков с пограничным слоем на
внешней поверхности трубы и будет совпадать с пограничным слоем на
пластинке.
В качестве конкретного примера использования преобразований
