Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
К* о
(7-8)
284
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[ГЛ. VIII
При таком выборе масштаба длины формулы перехода от размерных координат и
скоростей к безразмерным будут представляться в виде
: 1Х,
Kl
U Г 7-о
5- U X,,
V/2 2 1
(7.9)
/ АГо /г^2
у= ~yWyi=~ *>¦
и = Uuv
U пч .
V = = -гг и-уг.
Ко
Уравнения (7.4) при переходе к безразмерным координатам и скоростям
примут вид
1 л
дх,
ди-.
1 а*
, dv,
ду?
дх, ~ дУ1
= 0.
(7.10)
Если мы построим решения уравнений (7.10) и затем перейдём к размерным
величинам, то размерные скорости окажутся функциями произвольного
масштаба скорости U, который в размерные уравнения (7.4) не входит.
Следовательно, можно потребовать, чтобы размерные скорости не зависели от
произвольного масштаба скорости U. Если положить
St \ s/'ln2 I гЧ nU2
"1=/(*1, иЗх, -^-у
то требование независимости размерной скорости от даёт:
d Гns('in2 т и^2 п
uf\ieUx-
(7.11)
масштаба U
dU
Выполняя дифференцирование и используя (7.9), полуяям следующее
уравнение:
/¦) f /-) f
(7.12)
Применяя метод характеристик, получим:
df _ dx, _ dy,
- f Зх, 2y, '
Интегралами этих уравнений характеристик будут:
II _а/
/х{3 = С,, у,х, 13
С,
и поэтому решение уравнения (7.12) будет представляться в виде
:/(*1> Уд = х1 "9 (Л* 1 '")•
(7.13)
§ ?J РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ 285
Таким образом, новым независимым безразмерным переменным будет:
Tl = y1XiV\ (7.14)
и для этого переменного будем иметь:
df\ _ -"/3 _ 2 _уа_ ^ -г (7 ...
X (7.16)
Если ввести безразмерную функцию тока, полагая
2/i 2/i v
<K*i> У\)= J ЧаУ1=*Г'/а J ^('f\)dy1=xI(1 J <p(ri)dri=xTF(ri), (7.16)
ООО
то получим:
цх = xfV' (Tj), t/L = - = J *Г2'312TjF' (4 - F]
Sg- = - |хГ'/з(Р' + 2Л (7.17)
_ я"1/?" ^2ц1 _ х-'Ьр'"
дУ1 1 ду\ 1
При подстановке этих равенств в первое уравнение (7.10) получим следующее
обыкновенное дифференциальное уравнение для введённой функции тока F
(у\):
F", + j(F,i+FF№) = 0. (7.18)
Из граничных условий (7.5) получим следующие условия для искомой функции
F ("/]):
-П = 0, F"(0) = 0, F(0) = 0.] (7.19)
Непосредственно находим первый интеграл уравнения (7.18) в
виде
F" + \ FF' = С. (7.20)
На основании граничных условий (7.19) постоянную С необходимо
положить равной нулю:
С= 0.
Выполняя дальнейшее интегрирование уравнения (7.20), найдём:
F'+~F2~-=D. (7.21)
На основании равенств (7.17) и (7.9) размерная продольная состав-
ляющая скорости будет представляться в виде
u = Uut = (ухГъ (^-f F' (т). (7.22)
286 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [гл. VIII
Распорядимся выбором неопределённого числа п так, чтобы
F' (0) = 1. (7.23)
При этом условии и втором условии (7.19) постоянное интегрирования D
должно равняться единице. Таким образом, получим для функции F(т})
следующее уравнение первого порядка:
F'+±F*= 1.
(7.24)
Решая это уравнение методом разделения переменных и используя второе
условие (7.19), получим конечное выражение для искомой функции в виде
(7.25)
На основании (7.25) и первых равенств (7.17) получим следующие, выражения
для безразмерных скоростей:
- Х\
1
ch2
*1=3-
Y 6
2г,
1 Г 2г,
L Y 6
¦ ]/б th -7=r
Y 6
(7.26)
Для максимальной скорости на линии симметрии будем иметь:
иш = *Г,/а. (7-27)
Связь между продольной скоростью и максимальной выражается в виде
1 (7.28)
1771
ch2-^-
V 6
Переходя в равенстве (7.3) к безразмерным величинам на основании (7.9),
(7.15) и (7.26), получим следующее выражение для числа п:
-{-оо +оо -{-ОО
п= I u\dy,= Г F'\Y)dr{ = f -*3---*уъ==ъ,27. (7.29)
J J J ch* -W
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ
287
В заключение подсчитаем расход через бесконечную прямую, параллельную оси
у:
-г СО +СО +СО
Q= J и dy = IT1 J u1dy1 = х(зи~г J F' (tj) =
+ СО
dr.
. (7.30)
*> ch2 -____
-"ch ye
Таким образом, расход через начальное сечение струи (х = 0) равен нулю, а
затем расход растёт благодаря подтеканию с боков струи. Примерный
характер линий тока, определяемых по уравнению
x('F (tj) = const, (7.31)
показан на рис. 72.
Обращаемся теперь к рассмотрению пространственной ламинарной струи,
имеющей ось симметрии. Расстояние точки до оси симметрии будем обозначать
через г.
Импульс пространственной струи необходимо определить в виде
2u J pvxr dr = рК0, (7.32)
где vx представляет осевую компоненту скорости. В силу отсутствия стенок
давление можно полагать всюду постоянным:
р = const.
Если обратиться к уравнению для осевой компоненты скорости и уравнению
несжимаемости в цилиндрических координатах (7.1).
дЬ)х
в правой
дх2
главы IV и в первом из них отбросить слагаемое
части, то получим те уравнения, которые применяются для изучения
пространственного пограничного слоя на теле вращения и для изучения
распространения движения от ламинарной пространственной струи:
dvx
дх
I dvx - / д'к)х
дг - V дг* д (rvx)
1 дуг,
дг
)•
дх
д (rvг)
дг
0.
(7.33)
288 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [ГЛ. VIII
Граничные условия для пространственной струи будут следующие:
dVr. г, л \
(7.34)
при Г -У оо vx -У 0. j
