Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
получить различные по своему характеру течения в пограничном слое и эти
течения будут сходны с теми течениями, которые имеют место в отдельных
частях действительного пограничного слоя, например на крыле: вблизи
критической точки (т = 1), вблизи точки наименьшего давления (т = 0) и
вблизи точки отрыва (т = -0,0904).
§ 6. Приближённые уравнения теории пограничного слоя
Для решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях
упрощённые уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены
инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если,
например, воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом
слагаемом (1.13) через скорость частиц U (х) на границе слоя и совершенно
отбросить второе слагаемое, то получим приближённые уравнения теории
пограничного слоя
гг ди 1 др . д%и
дх р дх г"v dy2 '
ди . dv _______
дх ' ду
Уравнения вида (6.1) были уже использованы в § 3 главы VII для задачи
погружения пластинки в вязкую среду. Если сравнить полученное там
значение напряжения вязкости на пластинке (3.11)
ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
279
с напряжением вязкости, полученным в § 2 на основании полных равнений
пограничного слоя, то можно заметить различие в значениях числовых
коэффициентов порядка 65%. Таким образом, приближённые уравнения (6.1)
являются грубо приближёнными, дающими заведомо преувеличенные значения
для напряжения вязкости. К этим уравнениям можно обращаться лишь в тех
крайних случаях^ в которых не. может быть использован ни один из
известных приближённых методов решения полных уравнений пограничного слоя
(1.13). Например, в работах ,Л, Г. Лойцянскогох) приближённые уравнения
(6.1) были использованы для изучения пространственного пограничного слоя
на стыке двух плоскостей. В этом случае ни один из известных методов
решения уравнений (1.13) не может быть использован.
Уравнения (6,1) используются также для изучения движения жидкости в
области позади тела в предположении, что движение считается ламинарным и
распределение скоростей по начальному сечению этой области "следа" за
телом считается известным из решений уравнений для пограничного слояа).
Упрощение вида первого уравнения (1.13) пограничного слоя можно
произвести и другими способами. Вместо способа частичного учёта
квадратичных членов инерции можно, например, применить способ
осреднённого их учёта аналогично тому, как это было сделано в § 10 главы
VI по отношению к смазочному слою. При таком способе упрощения уравнения
пограничного слоя принимают вид
*± = L*p+Lw \
ду2 р. дх 1 ч х |
4^-=0, }¦ (6.2)
ду
ди , dv п
где Wx - среднее по толщине слоя значение проекции вектора ускорения на
направление касательной к рассматриваемому контуру
"'."I/("¦?+"¦w)d>- <6-3>
О
Учитывая граничные условия (1.14) и (1.15) и уравнение несжимаемости и
проводя преобразования, которые были проведены в § 3,
!) Лойцянский Л. Г., Взаимодействие пограничных слоёв, Труды ЦАГИ, вып.
249, 1936; Об одной задаче пространственного пограничного слоя, Труды
ЛИИ, раздел физ.-мат. наук, № 1, 1937.
2) Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТИ,
1941, стр. 118.
280
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
среднее ускорение Wx можно представить в виде
(6.4)
Таким образом, задача изучения движения жидкости в пограничном слое будет
сводиться к решению первого уравнения (6.2) и к использованию соотношения
(6.4) для определения толщины слоя.
Наконец, можно сохранить все уравнения (6.2), а ускорение определять не с
помощью осреднения, а каким-либо другим способом, например с помощью
соотношения
в котором скорость и считается заранее заданной функцией, удовлетворяющей
граничным условиям на границах слоя1).
Рассмотрим применение упрощённой теории пограничного слоя, представляемой
первым уравнением (6.2) и соотношением (6.4). Решение первого уравнения
(6.2) будет представляться в виде
Как уже было указано в § 4, основные граничные условия для скорости и
имеют вид:
У
(6.5)
о
(6.6)
при у = 0 и = 0, при у = о и = U (х),
(6.7)
Удовлетворяя этим условиям, получим:
2р. дх ' 2ч х ~~ 52 '
U
(6.8)
" = -~(у2-2'оу).
(6.9)
Используя равенство (6.9), будем иметь:
| udy = j Ш,
о
(6.10)
о
1) Тар г С. N\.; Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех-
нздат, 1951i
ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
281
Подставляя в (6.4) значение среднего ускорения из (6.8) и используя
равенства (6.10), получим:
-ТЕ-Т = жК-",т)' <6Л|>
Если давление определять из интеграла Бернулли, то будем иметь:
± = _ UU',
р дх
и соотношение (6.11) перейдёт в следующее дифференциальное уравнение для
толщины пограничного слоя:
288'-1-9= (6.12)
Решение этого линейного уравнения относительно З2 представляется в виде
<,.2 30*
U9
(j(y8rf*+C3). (6.13)
Таким образом, толщина пограничного слоя определяется одной лишь
квадратурой. Постоянное С3 должно быть определено либо из условия задания
толщины слоя для начала отсчёта криволинейной координаты, либо из какого-
