Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
некоторых других видов линейных дифференциальных уравнений, содержащих
частные производные по времени. Смысл формулы Дюгамеля заключается в том,
что скорость в какой-либо момент времени в некоторой точке внутри
области, занятой вязкой жидкостью, будет определяться не значением
скорости на границе в данный момент времени, а изменением значений
скорости на границе за всё предшествующее время, начиная с начального
момента времени. Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой
математическое выражение своего рода "принципа наследственности" в
механике неустановившегося движения вязкой жидкости.
§ 2. Движение неограниченной плоскости в вязкой жидкости
В качестве первого примера неустановившегося прямолинейнопараллельного
движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим
то движение жидкости, которое обусловлено перемещением неограниченной
плоской стенки. Пусть стенка представляет собой горизонтальную плоскость
xOz, а жидкость располагается по одну сторону от этой плоскости (рис.
78). До момента t = 0 жидкость и стенка находились в покое. С момента t -
0 стенка приходит в движение с постоянной скоростью U вдоль оси лг.
Благодаря неограниченности можно полагать, что скорость частиц
У
О X
Рис. 78.
положительного направления стенки в направлении оси z жидкости не будет
зависеть от переменного z:
ди
dz
= 0.
§ 2] ДВИЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ плоскости В ВЯЗКОЙ жидкости 307
Кроме того, можно считать, что перепад давления будет равен нулю:
дР = 0.
дх
При этих предположениях рассматриваемая задача будет сводиться к решению
дифференциального уравнения
дЛ = ^ (2 1)
dt ду* 1'
при следующих начальных и граничных условиях:
при t - 0 и _у>0 и - 0, )
при и _у = 0 u - U,\ (2.2)
при /;>0,и у i=oo и = 0. J
Для решения поставленной задачи применим метод функционального
преобразования Лапласа. Умножим обе части уравнения (2.1) на
е~& dt,
где р - параметр преобразования, и проинтегрируем от нуля до
бесконечности:
СО со
J e-*%dt = 4 je-P'^dt. (2.3)
о о
Выполняя в левой части уравнения (2.3) интегрирование по частям, получим:
ОО ОО СО
j* e~vt ^ dt = е~яьи -j-pje'&udt. (2.4)
о о о
Будем полагать, что действительная часть параметра преобразования р
положительна, тогда первое слагаемое в правой части (2.4) при подстановке
в него верхнего предела обратится в нуль. Введём следующее обозначение:
ОО
[* е~Р*и dt - и* (-У'р). (2.5)
о'
Функцию ^ принято называть изображением по Лапласу функции
и (у, t), а функцию и {у, t) - оригиналом.
Учитывая (2.5), получим из (2.4):
СО
\е-#д±<и = - {и\^+и\ (2.6)
308
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Таким образом, дифференцирование оригинала по времени приводит к
умножению изображения по Лапласу на параметр преобразования и вычитанию
значения дифференцируемой функции для начального момента времени. В
рассматриваемом нами случае начальное значение искомой скорости и равно
нулю, т. е.
(a)t=о = 0-
Используя (2.5) и (2.6), получим из (2.3) следующее обыкновенное
дифференциальное уравнение для изображения:
= <2-7>
Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет уменьшить число
независимых переменных на единицу. Дифференциальное уравнение (2.1) для
оригинала в частных производных с помощью преобразования Лапласа
преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение (2,7) для
изображения.
Теперь преобразуем граничные условия для оригинала в граничные условия
для изображения. В рассматриваемом нами случае в силу постоянства
скорости U будем иметь:
при у = 0 и* = U, )
* п (2.8)
при у = со и = 0. j
Общее решение уравнения (2.7) представляется в виде
и* = Аег -+- Be г
Используя граничные условия (2.8), получим следующее выражение для
изображения:
2.
и* (у, p)=Ue У ' V. (2.9)
Подставляя значение и* в (2.5), получим для оригинала интегральное
уравнение
е~Р*и dt = l^e~^r~y. (2.10)
Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная
трудность решения той или иной задачи переносится на определение
оригинала по найденному изображению. Но благодаря наличию достаточно
подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод
преобразования Лапласа находит всё большее и большее применение при
решениях задач механики и физики.
5 2] ДВИЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ плоскости в вязкой жидкости 309
Решение интегрального уравнения (2.5) по отношению к ориги-талу
представляется формулой обращения преобразования Лапласа. [(ля
установления этой формулы проведём следующие рассуждения.
Пусть u(t) представляет собой функцию только от переменного зремени I,
причём 1) функция u(t) непрерывна и ограничена и
2) интеграл eatu dt абсолютно сходится, где а - некоторое положи
Зудут выполняться достаточные условия для представления её инте-'ралом
Фурье в комплексной форме, т. е.
Положим, что функция и (к) обращается в нуль для всех отрицательных
значений к. При этом условии нижний предел во втором интеграле (2.13)
можно положить равным нулю, а поэтому весь интеграл можно заменить его
