Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
начального распределения скорости, а вторая будет характеризовать
распространение скорости движения от стенки к промежуточным слоям
жидкости. Если мы положим:
h = v2-\-w2,
то для первой задачи будем иметь:
dv2___ /d*V2 I д2гМ
dt ^ \ду* dz^) '
при t = 0 v2 = <f(y, z), ,
на Si v.2 = 0,
на Sn v2 = 0
и для второй:
dw2 (d^w2 , d2w2\
при t = 0 w2 - 0, на Si w2 = fi(t), на Sn w2 = 0.
Таким образом, решение первоначальной общей задачи можно составить из
решений трёх отдельных задач (1.7), (1.9) и (1.10). Если перепад давления
будет равен нулю, то решение первой задачи (1.7) будет тождественно равно
нулю. Если же для начального момента времени жидкость будет находиться в
покое, то решение задачи (1.9) будет также нулём. При выполнении этих
двух условий задача изучения прямолинейного движения жидкости будет
сводиться только к задаче (1.10). Решение задачи (1.10) при произвольном
задании функции Д (I) может быть построено на основании решения той же
(1.9)
(1.10)
(1.7)
(1.8)
304
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IX
задачи, отвечающей значению w2, равному единице на границе S[, с помощью
интеграла Дюгамеля. В самом деле, обозначим через wt единичное решение
задачи (1.10), т. е. решение уравнения
dwt /д2(r)! , д2даД
~дГ ~ ^ "Ш? )
(1.11)
при условиях:
при t = 0 w1 = 0,
на Si чю1 = 1,
на 5ц = 0.
Тогда решение задачи (1.10) будет представляться формулой Дюгамеля
t
w2(y, z, 0 = /1(0)w1(^, 2, t)+^ f[('z)wliy,z,t - 'z)d'z. (1.12)
о
Покажем вначале формально, что правая часть (1.12) действительно
представляет собой решение задачи (1.10). Так как правая часть (1.12)
представляет собой предел суммы частных решений вида
w2(y, z, t-дифференциального линейного уравнения (1.10), то этот предел
будет также решением того же уравнения. Полагая в правой части (1.12) ^ =
0 и учитывая значение wv ролучим, что и w2 = 0. Аналогично обстоит дело и
с удовлетворением граничного
условия на контуре 5ц. На. контуре же Si будем иметь:
w1(y,z,t)=\, w2(y,z,t) =
t
=л (0)+J/; со d* ^(o.
Таким образом, функция w2, представляемая в виде (1.12), действительно
будет решением задачи (1.10).
Дадим теперь непосредственный вывод формулы Дюгамеля (1.12).
Представим заданную функцию f1(t) графически в виде некоторой кривой
(рис. 77). Фиксированный конечный интервал времени от нуля до t разобъём
на малые интервалы продолжительностью ДА т. е. положим
t - пМ.
Данную кривую заменим ломаной линией, начальная ордината которой будет
(0). К концу интервала времени Д? приращение ординаты будет равно
/;(0)да
Рис. 77.
§ 1] ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ НЕУСТАНОВИП. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ 305
Следующее приращение ординаты равно
f[{ht) Ы,
а приращение номера k будет:
/;к*-i)M] ht.
Функция w2(y, z, t) представляет собой решение задачи (1.11). Если бы на
границе Si поддерживалась всё время скорость Д(0), то к моменту конца
интервала времени t в произвольной точке области между Si и Sn
создавалась бы скорость, равная
AWw^y, z, * - 0). (1.13)
Следовательно, на функцию w1(y, z, t - 0) можно смотреть как на своего
рода коэффициент передачи в течение интервала времени t-0 скорости,
возбуждаемой на границе Si, в точку с координатами у и z. Но так как
скорость на границе Si меняется, то скорость lb точке (у, z) может
определяться по формуле (1.13) не для всего конечного интервала времени,
а только для интервала времени
0<^<ДС
К концу интервала времени ht скорость на границе получит приращение
/'(0)ДС это приращение будет передаваться во все точки области между Si и
Sn, но передача будет происходить, не в течение всего интервала времени
от нуля до С а в течение интервала времени t - Дt. Следовательно, если бы
дальнейшего приращения скорости на границе Si не происходило, то к концу
интервала времени t в точке (у, z) мы получили бы приращение скорости
равное
f[(0)htwr(y, z, t - Д/f). (1.14)
Но на самом деле скорость на границе к концу интервала времени 2At
получит новое приращение f±{ht)ht, следовательно, приращение скорости в
точке (у, 2) можно подсчитывать по формуле (1.14) лишь для интервала
времени
ht<t<:2ht.
Для следующего интервала времени приращение скорости в точке (у, z) надо
уже подсчитывать по формуле
f[{ht) htwt{y, z, t-2At), (1-15)
(2 ht < t < 3 ht)
Продолжая, далее, эти рассуждения для интервала номера k, будем иметь
приращение скорости в точке (у, z) в виде
f\\(k-1) Д^] hiwt(y, z, t-kht), (1-16)
неУстановйвШееся движение вязкой ЖИДКОСТИ
(гл. IX
Складывая (1.13) с суммой (1.14), (1.15) и (1.16), получим выражение для
всей скорости в точке {у, z) к концу интервала времени t в виде
а(у, z, t) = f1(0)w1(y, z, t - 0) +
к~п
+ 2/ip - V^w^y, 2, t - kAt). (1.17)
A = 1
Полагая
k At - i, At - dz, nAt - t,
увеличивая n до бесконечности и уменьшая At до нуля, в результате
предельного перехода получим из (1.17) формулу Дюгамеля (1.12).
Заметим, что формула Дюгамеля (1.12) может быть использована не только
для решения дифференциального уравнения типа теплопроводности, но и для
