Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
при г = 0 - vr = 0,
В случае струи типа источника уравнения (7.33) можно таким же методом,
как и для плоской струи, свести к обыкновенному уравнению для функции,,
тока.
Если положить:
в=4.
vx = U и,,
(7.35)
I (V
VR Г1~У V х' .
то на основании равенства (7.32) будем иметь:
СО
/С0 = 2тЫ?/J u\r, dr,. (7.36)
Выберем масштаб для скорости U так, чтобы выполнялось равенство
К0 = '>IU, (7.37)
тогда из (7.36) получим:
СО
2я J u{r,dr,= 1. (7.38)
Если масштаб длины I оставить произвольным, а масштаб скорости
определить из (7.37) в виде
U = (7.39)
то число Рейнольдса представится в виде:
(?-4°)
Тогда формулы преобразования размерных величин в безразмерные будут:
§ 7] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ 289
Используя эти формулы преобразования (7.41), получим из (7.33)
безразмерные уравнения
" dui I dui _ d*ui I 1 dui
1" - ТГТ л '
ajq 0/^ drj
a (rlUl) , a (rlPl) __ 0 dx, "t-. dr, '
(7.42)
Решения уравнений (7.42) будут зависеть от отдельных безразмер..
координат xt и rt, и поэтому при переходе к размерным координатам
размерные скорости будут зависеть от произвольного масштаба длины I,
который в уравнения (7.33) не входит. Можно потребовать, чтобы осевая
компонента скорости vx не зависела от I. Если положить:
vx=Ua1 = ^ff(x1, Л1) =:?/(?, iJkr), (7.43) то требование независимости
скорости vx от I даст:
dvx d
§/(4. ^')Н-
dl ~~ dl
Выполняя дифференцирование, получим уравнение
Решение этого уравнения, построенное по методу характеристик, будет
следующее:
!=^ = хЛ^]- <7'44>
Таким образом, новым безразмерным независимым переменным, являющимся
комбинацией прежних независимых переменных, будет:
¦4 = ^. (7.45)
xi
Если обратиться ко второму уравнению (7.42) и использовать условия (7.34)
и равенства (7.44) и (7.45), то получим следующее выражение для
радиальной скорости:
п ¦>)
rivx = - ^^- (r1u1)dr1- - ^ [ J "П? С")) *i dl(l] • (7.46)
о "о
Вводим функцию тока й, полагая
_ ^ ^ П А7\
290
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
Подставляя в левые части (7.47) значения скоростей из (7.46) и (7.44),
получим:
л
^ = "WW ='$[•• <7'48)
На основании этих равенств функция тока равна
б - X, J ср (т)) 7] rffj = X,F(y\)-
(7.49)
Компоненты скорости и их производные через введённую функцию F(ij)
выражаются по формулам
дф xi р/ д1*! 1 р/
1 г, дг, г, дг, х,у\ '
v,=-
ди, ___
дх,
ди,
dF,
д2и
дг(
J_ дф _1 р _| }_ р/
г дх, х,у] ' х, '
\-г______________________________________________= .
\ xlri2 \ Х1 / х\
ХГ1
F'
Х1Г
xh
F",
2 F;
хр
2F"
*г(]
F//
(7.50)
Если подставить выражения (7.50) в первое уравнение (7.42), то получим
обыкновенное дифференциальное уравнение
1
F"'_±F" + ~ F' - \ FF' F
т 1 *п2
/2
- FF
(7.51)
¦Так как
Р'" _ ± р" J_ р' = (р" _ 21')'
1) I -г)2 V ^ /
JL FF' - - F'1'2
Т ¦")
то первый интеграл уравнения (7.51) будет:
F' - -r\F" = FF'-\-C.
(7.52)
Для определения постоянного заметим, что на оси симметрии струи осевая
компонента скорости должна быть конечной, а это может быть на основании
первого равенства (7.50), если числитель при т) = 0 будет обращаться в
нуль, т. е.
= 0, F'( 0) = 0. (7.53)
§ 71. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ 291
При выполнении условия (7.53) постоянное С должно обращаться
r нуль, а уравнение для функции F(t]) примет вид
F' - t\F" = FF'. (7.54)
Решение этого уравнения, регулярное при т] = 0, можно искать
в виде степенного ряда
F (т,) = а.2т,2 +- а,^ +- +¦ аБт,5 +- авгf + . ..
Подставляя этот ряд в (7.54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степейях т), получим:
аз - 0. ах = -\а\, оБ = 0,
Следовательно, регулярное решение уравнения (7.54) будет представляться в
виде
F (ц) = од2 - т ад2 + (-5- ад2)2 +•••]•
Выражение в скобке есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна
1
1 4~ + а21)2
Таким образом, решение уравнение (7.54), удовлетворяющее условиям (7.34)
и (7.53), будет следующее:
',"=4Т$?- <7'55)
Для определения коэффициента а% необходимо обратиться к равенству (7.38),
которое при замене их и гх будет иметь вид
С"
2тс IV2^= 1.
J Ч
о
Так как
32а2т]
(4 + 0242)2-
292 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ II Л. VIII
то для определения а2 получим равенство
СО
2тг162 • 2а2 Ь
2 J (4 + ОД2)4
О
откуда
= <7'56>
Таким образом, распределение безразмерных скоростей в ламинарной
пространственной струе будет определяться согласно равенствам
3_ ,
, % м. "1=-/ 64Л- <757>
Ч + тИ *Ч(*+1Ё^
Расход через всю плоскость, перпендикулярную к оси струи, равен
со со со
Q = 2т: J vxr dr = 2тЛч J uprx dr1 = 2ъЬх1 J F'(т{) dt\ - 8ttva:.
(7.58)
0 0 о
Таким образом, и здесь расход в начальном сечении (л: = 0) равен
нулю, а затем по мере удаления от источника струи расход растёт
за счёт подтекания в струю жидкости с боковых сторон благодаря увлечению
движущимися частицами частиц покоящейся среды. Максимальная скорость на
оси струи будет равна
(7.59)
На основании первого равенства (7.39) и (7.57) получим следующее
выражение для размерной осевой скорости в произвольной точке
