Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
другие приближённые методы решения уравнений для пограничного слоя.
Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению
отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых
безразмерных переменных, позволяющем дифференциальные уравнения с
частными производными (1.13) сводить либо к одному нелинейному
обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами,
либо к некоторой последовательности обыкновенных дифференциальных
уравнений также с числовыми коэффициентами. В этих методах численно
решается обыкновенное уравнение или группа.уравнений и составляются
соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для
целой группы соответственных задач (а не одной какой-либо задачи).
Чтобы показать конкретно сущность этих методов, рассмотрим подробно метод
сведения уравнений (1.13) к одному обыкновенному уранению для случая
степенного закона изменения скорости внешнего потока, развитый в работах
Фокнера и Скэна,2) Хартри3), Л. Г. Лой-цянского4) и др.
Пусть на внешней границе ламинарного пограничного слоя скорость частиц во
внешнем потоке распределяется в продольном напра-
4) К о ч и н Н. Е. и Л о й ц я н с к и й Л. Г., Об одном приближённом
методе расчёта ламинарного пограничного слоя, Доклады АН СССР, т. XXXVI,
№ 9, 1942.
2) F а 1 к п е г V. М. a n d S к а п S. W., ARC RAM № 1314, 1930.
8) Наг tree D. R., Proc. of the Cambridge Phil. Soc. 3-3, 1937.
4) Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, 1950.
5] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО слоя 273 влении по
закону
U (х) = схт,
(5.1)
где с - размерный коэффициент, связанный с размерностью длины и скорости
соотношением
С = (5-2)
Уравнения пограничного слоя (1.13) при использовании (3.12) и (5.1)
представятся в виде
ди . ди о . , д*и
и д г v д- = с^тхш 1 + v ,
дх 1 ду 1 оу2'
ди , dv "
ду~
(5.3)
От размерных координат х и у перейдём к безразмерным, полагая
X - lxv )
1_ " } (5.4)
V R
Если в выражении числа Рейнольдса
VI
У = Т^У1- j
R =
v
заменить скорость через коэффициент (5.2), то получим:
R =
у =
cl
¦Ш + 1
1 - т у- -
i-y-
У1-
Полагая
и = Valt | V
V = -- v1
Y R
(5.5)
(5.6)
(5.7)
и используя (5.6), уравнения (5.3) можно представить в виде ди1
- -¦ ~Jy2
1 дх±
ди, , . . д^и,
¦ V, ~ = тх2'"-1 +- 1
1ФУг 1 1
дх1 °У1
(5.8)
Решения уравнений (5.8), вообще говоря, должны быть функциями
безразмерных координат х1 и yv Поэтому при переходе к размерг ным
координатам размерные решения уравнений (5.3) будут зависеть от масштаба
длины /. Так как коэффициенты уравнений (5.3) не
274
ТьОТ'ИЯ ПОГРАНИЧНОГО слоя
[гл. VIII
содержат ti янном виде масштаба длины /, то можно потребован., чтобы
безразмерные скорости и, и зависели не от отдельных безразмерных
координат и у,, а от такой их комбинации, при которой исключалась бы
зависимость размерных скоростей от масш глба длины I. 1?сли обратиться к
первому равенству (5.4)ико второму равенстве (5.(>). то можно заметны.,
что с лине i ненной комбинацией, не содержащей масштаба длины при
переходе к размерным координатам, будет:
Vi-V,
- v
/¦а
На згом основании вводим новое независимое безразмерное переменное1 т.,
полагая
/ с'Л" • О.ч
г,:-; у у - т- -у у
где а-мекотсрис постоянное число. Из (5.D) будем иметь:
(.5.0)
(5.10)
- л/к"<Л>
Оу У .3 •
Or. 1 1 и*
од ~ 7 -VU \-7..(;г - 2 Т'
Тсперт. примем, что продольная составляющая пек юра скорости в
пограничном сдое может быть представлена в пиле
u(.v. у) _ U (а1)*!*' (т,). (5.1 1)
где штрих в правой часы означает дифференцирование* нет т, На основании
условия прилниа ня и того, что нижняя граница слоя представляет собой
линию тока, будем иметь следующие условия для неизвестной функции "!•
(г.):
при т, =з о "!>(()) 0. *!•'(0) - О.
Используя е'оотношення (5.10) и (5.11). будем иусп..
OiJ Г "/ ? / 16 6 1 V
од 7 L + - V ЧУ V"* •
-da-=f/ \Ги'
о? г
ll-lt 67/' .
"туг ~ .'
(5.12т
(5.1:))
Из урамнекия несжимаемости, условия обращения в нуль скорости О на с:енке
у- 0 и первого равенства (j.lU) получим:
§ 5] приближённый метод Решений уравнений пограничного слоя 275
Подставляя значение ^ из (5.13) и используя условия (5.12), будем иметь:
v=-VW [ф + ^^-СпФ'-Ф)]. (5.14)
На основании (5.13) и (5.14) получим:
и ш +v % = ии'{ф'2 - фф"}+Т фф"'
Следовательно, первое уравнение (5.3) представится в виде
Ф'2 фф" Lфф" = е2тх2тГ1.. _L j_ ф"
члр 2 ц/2 UU' ^ $
Наконец, используя предположение (5.1) и полагая
Р = -?гт> (5.15)
г т -(- 1 '
получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной
функции Ф:
6?3ф
Для решения уравнения (5.16) к условиям (5.12) необходимо присоединить
условие на внешней границе слоя. Если считать слой асимптотическим, то
дополнительное условие будет представляться в виде
Ф' (со) = 1. (5.17)
При каждом отдельном значении постоянного р уравнение (5.16) можно
интегрировать численным методом. В цитированной выше работе Хартри
приведена таблица 2 значений функции Ф' при различных значениях параметра
