Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
| \udy =
О (I
7^1"*^-'[("* 3j)o+* 1 "'-'(ггН- (3'5)
О о
о
о
X
элемента ААг и (рис. 70), поделённое на длину элемента Дх. Второе
слагаемое левой части (3.6) представляет количество движения,
S
вносимое массой
че-
о
Рис. 70.
рез верхнюю границу слоя Л1В1 за секунду. Правая же часть соотношения
(3.6) есть импульс сил давле-
§ 3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
267
Так как давление и скорость внешнего потока U считаются известными
функциями от переменного х, то интегральные соотношения (3.5), (3.6) и
(3.7) будут содержать две неизвестные функции, из которых первая будет
представлять собой распределение основной скорости и по толщине слоя, а
вторая - изменение толщины слоя с изменением криволинейной координаты х.
При использовании этих интегральных соотношений приходится первую из
неизвестных функций в какой-то мере задавать заранее и отдельные
коэффициенты её определять из граничных условий. При подстановке в
интегральное соотношение (3.5) задаваемой функции распределения скоростей
по толщине слоя получится для толщины слоя дифференциальное уравнение
первого порядка.
В работе Польгаузена*) распределение скоростей по сечению пограничного
слоя задавалось в виде многочлена не выше четвёртой степени. В работе Л.
Г. Лойцянского2) для распределения основных скоростей использовался
многочлен шестой степени. В одной из первых работ А. А.
Космодемьянского3) распределение скоростей
представлялось в виде а =• U0 sin - тр Сопоставление результатов
расчёта во всех этих случаях с результатами решения уравнений
пограничного слоя, приведёнными для пластинки в предшествующем параграфе,
показывает сравнительно малое расхождение, особенно в отношении числового
множителя в выражении (2.18) для коэффициента сопротивления пластинки.
Это обстоятельство и послужило основанием, с одной стороны, для широкого
использования метода интегральных соотношений, а с другой стороны, для
некоторого произвола как в выборе вида функции распределения основных
скоростей по толщине слоя, так и в назначении дополнительных граничных
условий для определения коэффициентов этой функции.
Дополнительные граничные условия устанавливаются на основании
непосредственного использования самих уравнений (1.13) для пограничного
слоя. Например, если учесть, что на стенке скорости и и v обращаются в
нуль, то из первого уравнения (1.13) получим новое граничное условие на
стенке в виде
Дифференцируя левую и правую части первого уравнения (1.13) по
переменному у, будем иметь:
!) Pohlhausen К., Zeitschr. fur ang. Math, und Mech., т. I, 1921.
2) Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТИ, 1941.
3) Космодемьянский А. А., Учёные записки МГУ, № 2, 1934.
(3.8)
(3.9)
268
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
Сумма первого и третьего слагаемых в левой части на основании уравнения
несжимаемости будет обращаться в нуль. Остальные слагаемые в левой части
будут обращаться в нуль на стенке; отсюда получим ещё новое
дополнительное условие на стенке
($)"." = °- (3'|0)
Используя граничные условия (1.15), первое уравнение (1.13) для точек
верхней границы слоя можно представить в виде
(?).=-} tMwl- <3-">
Если положить
(ди\ dU vd.rj, дх
и учесть, что из интеграла Бернулли - -- С L U1 лля линий тока
Р ^
внешнего потока, примыкающих к верхней границе слоя, будем иметь:
LdJL = ^uf, (3.12)
р дх dx
то из (3.11) получим ещё одно граничное условие
(51. =°- (3'|3)
Если бы мы ещё раз продифференцировали равенство (3.9) по переменному у и
использовали бы все ранее полученные граничные условия, то получили
бы ещё новые дополнительные условия для производных
третьего и четвёртого порядка от искомой функции и.
Разумеется, что этот процесс получения новых граничных условий можно
продолжать и дальше. Подчиняя выбор вида функции распределения по толщине
слоя основных скоростей всё большему числу дополнительных граничных
условий, мы тем самым можем всё больше и 'больше приближать задаваемую
функцию к действительному решению самих уравнений (1.13) пограничного
слоя.
§ 4. Пограничный слой при обтекании выпуклого контура
В качестве примера применения метода интегральных соотношений рассмотрим
обтекание плоско-параллельным безграничным потоком несжимаемой жидкости
выпуклого контура (рис. 71). В передней части рассматриваемого контура
будет образовываться пограничный слой. Скорость частиц жидкости на
внешней границе этого пограничного слоя будем считать известной функцией
криволинейной координаты х, отсчитываемой от передней критической точки
вдоль верхней части дуги
U = U (х).
I 4] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЫПУКЛОГО КОНТУРА 269
Интегральное соотношение (3.6) после использования (3.12) представится в
виде
mj = <4Л>
О о
Введём новое независимое переменное, полагая
Ч = (4-2)
и будем считать, что распределение основной компоненты скорости и по
толщине пограничного слоя представляется функцией, зависящей
только от одной независимой переменной т], т. е.
и = fZ/ft). (4.3)
