Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Используя предположения (4.2) и (4.3), интегральное соотношение (4.1)
можно представить в виде 1 1
J ^ W ^ lb ^ ~ f fW № = UU'* - T-f (0). (4.4)
о о
Как уже было сказано выше, вид функции (4.3) в некоторой мере должен
задаваться заранее и лишь отдельные коэффициенты конкретного выражения
этой функции должны определяться из граничных условий. Основные граничные
условия, выражающие собой условие прилипания частиц к стенке, условие
непрерывного перехода значений основной компоненты скорости через верхнюю
границу слоя и условие отсутствия силы вязкости на этой границе слоя,
имеют вид
"(0) = 0, "(3) = t/, (^) = 0.
Если иметь в виду предположения условия можно представить следующим
образом:
/(0) = 0, /(1)=1, /'(1)=0. (4.5)
К основным граничным условиям (4.5) присоединим одно дополнительное
условие (3.8), используя (3.12) и (4.3):
f'(0) = ~^-U'. (4.6)
Наличие четырёх граничных условий (4.5) и (4.6) позволяет использовать
для распределения скоростей в пограничном слое
(4.2) и (4.3), то эти граничные
2?6 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [гл. VIII
функцию, содержащую четыре неизвестных коэффициента. Если, например, эту
функцию брать в виде многочлена, то наиболее простым из них будет
многочлен третьей степени, т. е.
/(¦")) = Л0 + Л11П+/М9 + /МЙ- • ¦ (4-7)
Определяя коэффициенты многочлена из граничных условий (4.5) и
(4.6), получим:
-40 - 0, Л = у(:
-тО-1*1)- (4'8)
Используя выражения (4.8), будем иметь:
/(¦Ч) = т(3,1-Ч8)+т(Ч -¦2ча + Ч8). (4.9)
где X представляет собой безразмерный параметр, равный
А = - 1/'. (4.10)
V v
Определяя силу вязкости на стенке по формуле Ньютона и используя (4.2),
(4.3), (4.9) и (4.10), получим:
,0=|1 (|у)" = l*T"^,(0>= iT <6 + Ч- (4.11)
В § 1 было указано, что точка отрыва пограничного слоя
определяется из условия обращения в нуль силы вязкости на
стенке. По-
лагая правую часть (4.11) нулю, найдём:
*от=(^г/) --6. (4.12)
' 'ОТ
В случае обтекания эллиптического цилиндра экспериментально установлено,
что положение точки отрыва определяется равенством
Аэк = - 5,4. (4.13)
Таким образом, полученный результат (4.12) достаточно близок
к экспериментальному,
Для определения изменения толщины слоя необходимо обратиться к
интегральному соотношению (4.4), которое при использовании обозначения
(4.10) представится в виде 1 1
о о
1 1
+ 2Х JVC"])*! - X J/Oq)^ - л + /'(0) = 0. (4.14)
I 4} ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЫПУКЛОГО КОНТУРА 271
Для коэффициентов полученного уравнения (4.14) из (4.9) будем иметь:
/'(0)=1,5 + 0,25А,
1
J*/С"|) <*"!=: 0,625 +0,02U,
о
1
J /2 (yj) rf-n = 0,486 + 0.023Х - 0,0006X2,
0
1 1 J /2(чМ-г1 -J/(т[) dt\ = - 0,139-J-0.002Х-0,0006А2, о
1 1 1 2А J /2 (ц) d-ц - A J / (-О di\ - А +/' (0) = 1,5 - 0.403А +
+ 0.025А2 - 0,0012А8.
(4.15)
Вводя новое зависимое переменное
Л-
V
с,
(4.16)
(4.17)
получим следующее дифференциальное уравнение:
dX, _ 3 - 0.806А + 0,05X2 - 0.0024А3 dx~ U (0,139 - 0,002Х + 0,0006X2) *
При заданной функции U (х) изменения скорости внешнего потока вдоль
рассматриваемого контура дифференциальное уравнение (4.17) можно решать
только либо графически, либо численным методом.
Если положить параметр А-равным нулю, то получим случай пограничного слоя
на пластинке, разобранный в § 2. Для этого случая из (4.17) будем иметь:
dj _ 21,58 dx U
Проводя интегрирование и определяя постоянное интегрирования из условия
обращения в нуль толщины слоя у переднего края пластинки, получим:
5=4,6 J/^Л. (4.18)
Сопоставляя правую часть (4.18) с правой частью (2.19), мы видим, что
различие в числовом коэффициенте имеет порядок 8°/0.
Рассмотренный пример использования интегральных соотношений является
наиболее простым по своей схеме, однако доведение до конца интегрирования
уравнения (4.17), хотя бы и численным методом, связано с большими
трудностями благодаря тому, что правая
272
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[ГЛ. VIII
часть этого уравнения имеет особую точку при (7 = 0. Кроме того, этот
метод заведомо неприменим к пограничному слою при замедленном течении
жидкости во внешнем потоке. В ряде статей предложены другие методы
использования интегральных соотношений. Из этих методов наиболее простым
и широким по охвату различных случаев является метод Н. Е. Кочина и Л. Г.
Лойцянского4).
§ *5. Приближённый метод решения уравнений пограничного слоя
В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод
использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя,
но расчёты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в
которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо
был небольшим положительным. Для больших положительных перепадов давления
в пограничном слое он мало пригоден. Кроме того, этот метод требовал
графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17)
для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного
слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать
