Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
проекциях на введённые оси координат и уравнение несжимаемости
представятся в виде
д
дх
(Ра
-pu2) + fy(Pyx - pVU)
(Рху PUV) + (Руу Р^2) :
ди .дv дх'ду
О,
О,
0.
(1.1)
Соотношения, выражающие обобщённую гипотезу Ньютона в рассматриваемом
нами случае, будут иметь вид
ди
дх' Руу'
(dv I dv)
-Л + 2р.
dv
Ту'
Jxy '
¦V-
/dv , dv\ \chc~T~dy)'
(1.2)
Обозначим через l характеристику протяжённости слоя, через U- характерную
скорость частиц в продольном направлении слоя и через V-характерную
скорость в поперечном направлении. Вводим безразмерные величины, полагая
х = lx,. v - 8 v.. 1
§ 1] УРАВНЕНИЯ* ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 255
Уравнение несжимаемости тогда представится в виде
^ffi I Y-_________n Cl 41
U 5 dyt *¦ }
Если считать, что слагаемые в уравнении (1.4) будут иметь один и тот же
порядок величин, то необходимо положить:
иь
V
Это равенство означает, что порядок отношения скоростей должен совпадать
с порядком отношения среднего значения толщины слоя к характерной длине
I, т. е.
тг=Т = в- (L5)
Вводим безразмерное число Рейнольдса и безразмерное давление
R - ~ (1.6)
y-Ul р?/а .
р= -wpi = h>pi- (К7)
Соотношения (1.2) при использовании (1.3), (1.5), (1.6) и (1.7) примут
вид
рхх=%[{-л+2(r)а|§)"
= ' (L8)
Уху - Re \dlyi~r - dxJ-Подставляя (1.8), (1.3) в (1.1), будем иметь:
i^-A+2.s&-R"s":) + |r1(a5a+=sg-R.a"1A,)=o, ;[*s(g+'aai-R^A)]+ 10.9)
+J^(-A+2.ag-;-RA;) = o,
При выводе уравнений Рейнольдса для смазочного слоя мы полагали
число Рейнольдса обратно пропорциональным первой степени
безразмерного параметра з. Так как мы рассматриваем теперь случай весьма
больших значений чисел Рейнольдса, то примем, что это число обратно
пропорционально квадрату параметра з, т. е.
1
дх-
дх
256
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VII
Сохраняя в уравнениях (1.8) и (1.9) только члены наивысшего порядка,
получим:
Р XX Р > -) ]
^ = 4.y*g;-f (1.11)
Руу ?U~PV J
д , а, , д /ди-, \ "
^ (- Л -'"0 ¦+ ^ (Гу\ - "л) = о,
^ = 0. I
dyi )
(1.12)
Таким образом, при весьма больших значениях чисел Рейнольдса компоненты
нормального напряжения в пределах пограничного слоя сводятся к одному
давлению, а компонента касательного напряжения имеет порядок е по
отношению к скоростному напору (рU'2) и опрег-деляется только одним
слагаемым, представляющим собой первую производную продольной скорости по
поперечной координате у. Из второго уравнения (1.12) заключаем, что в
пределах пограничного слоя давление по толщине слоя не изменяется.
Переходя в уравнениях (1.4) и (1.12) к размерным величинам, получим
следующие уравнения плоско-параллельного установившегося движения вязкой
жидкости в пограничном слое без учёта действия массовых сил:
ди . ди 1 др , д?и
U дх ^ V ду р дх v ду2.'
? = 0,
ду
du .dv п
д!~т~ду~
(1.13)
Так как давление по толщине слоя не меняется, то внутри слоя давление
должно быть таким же, каким оно было на границе этого слоя с областью
внешнего потока жидкости без учёта её вязкости. А это значит, что в
пределах пограничного слоя давление должно считаться известной функцией
криволинейной координаты х. Эта функция для давления устанавливается на
основании решения задачи об обтекании рассматриваемого контура идеальной
жидкостью. Таким образом, дифференциальные уравнения (1.13) для
пограничного слоя будут содержать только две неизвестные функции-
компоненты и и v скорости частиц жидкости в слое. Если рассматриваемый
контур является неподвижным и непроницаемым, то для неизвестных функций
должны удовлетворяться условия прилипания:
при _у = 0 и- 0, т> = 0. (1-14)
К граничным условиям (1.14) необходимо присоединить граничные условия на
границе предполагаемого пограничного слоя, тол-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
257
щина которого может считаться либо бесконечно большой (асимптотический
пограничный слой), либо конечной. В последнем случае толщина слоя должна
считаться неизвестной функцией криволинейной координаты х, для
определения которой должны быть использованы условия на границе слоя. Эти
граничные условия в первую очередь должны отразить непрерывность основной
компоненты скорости и и непрерывность силы вязкости при переходе из слоя
в область внешнего потока. Если через U обозначить компоненту скорости
частиц во внешнем потоке, параллельную касательной в соответственной
точке рассматриваемого контура, то простейшие граничные условия на
границе пограничного слоя будут:
при_у = о u=U(x), ^=0, (1-15)
Таким образом, задача изучения движения вязкой несжимаемой жидкости в
пограничном слое сводится математически к решению дифференциальных
уравнений (1.13) при граничных условиях (1.14) и (1.15). Наличие
нелинейных слагаемых в первом уравнении (1.13) и наличие граничных
условий на неизвестной границе создают большие трудности на пути изучения
движения жидкости в пределах пограничного слоя. Но всё же эти трудности
оказалось возможным преодолеть во многих случаях с помощью различных
