Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
представляться уравнением
sin 0 tg 0 = . (5.45)
Полагая в правой части (5.43) cos 0
1, sin 0 яй ¦ ¦__,
YkR
получим следующее выражение максимальной завихрённости на далёких
расстояниях позади шара:
и, = - aU " 4
(V А?з +
(5.46)
252 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
Таким образом, интенсивность вихря на поверхности "хвостовой" части
потока позади шара с увеличением расстояния от центра шара затухает
обратно пропорционально- лишь полуторной степени этого расстояния, тогда
как впереди шара интенсивность йихря убывает по закону показательной
функции (5.44).
Сопоставляя результаты, которые были получены при решении задачи об
обтекании шара на основании приближённых уравнений Стокса в § 7 главы V и
на основании приближённых уравнений Озеена, мы должны придти к следующим
заключениям. При полном отбрасывании квадратичных членов инерции
получаемая картина обтекания неподвижного тела в малой степени
согласуется с реально наблюдаемым течением, особенно в отношении
характера потока позади тела. При частичном же учёте квадратичных членов
инерции цолучается картина течения, которая с качественной стороны в
отношении различий характера потока впереди и сзади тела
удовлетворительно согласуется с картиной действительного обтекания
потоком жидкости этого тела.
Заканчивая рассмотрение примеров использования приближённого метода
Озеена, заметим, что с помощью предложенных им уравнений им самим и его
учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости. На основании
дифференциальных уравнений с частичным учётом квадратичных членов инерции
Озееном *) построено решение задачи об обтекании выпуклого тела
безграничным потоком в интегральном виде. Устремляя в этом решении
коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с
наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием
к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной
жидкостью с разрывными граничными условиями.
!) О s е е п С., Hydrodynamik, Leipzig, 1927.
ГЛАВА VIII
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения движения жидкости в пограничном слое
В предшествующих трёх главах были рассмотрены три приближённых метода
изучения движения жидкости с учётом вязкости. Следующую ступень развития
приближённых методов изучения движения вязкой жидкости составляет теория
пограничного слоя.
На то обстоятельство, что прилипание жидкости может оказать существенное
влияние на характер течения и его закономерности, указано ещё в
гидродинамике Д. БернуллиJ). В работах Навье, Пуассона и Стокса также
имеются указания на то, что в связи с учётом вязкости жидкости должны
измениться граничные условия вблизи стенок. Но эти указания всё ещё не
давали основания к утверждению того, что вязкость жидкости проявляется
главным образом только вблизи твёрдых стенок. Идея о преобладающем
влиянии вязкости жидкости только вблизи стенок была высказана позднее, а
именно в работе Д. И. Менделеева?), а затем в лекциях Н. Е. Жуковского8).
Своё оформление в виде уравнений эта идея получила в работе Прандтля 4).
Рассмотренные в предшествующих трёх главах методы относились к движениям
жидкости при сравнительно малых числах Рейнольдса, методы же теории
пограничного слоя относятся к противоположным случаям, т. е. к случаям
движения жидкости при весьма больших значениях чисел Рейнольдса. Если в
методах Стокса и Рейнольдса квадратичные члены инерции совершенно не
учитывались, а в методе Озеена эти члены учитывались лишь частично, то в
теории пограничного слоя Прандтля квадратичные члены инерции
!) Bernoulli D., Hydrodynamica, Strasburg, 1738.
2) Менделеев Д. И., О сопротивлении жидкости и о воздухоплавании, 1880.
3) Жуковский Н. Е., Собр. соч., т. VI, Гостехиздат, 1949.
*) Р г a n d 11 L., Verb, der III Intern. Math. Kongr. in Heidelberg,
Leipzig, 1905.
254
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
полностью учитываются в основном уравнении. В приближённых методах Стокса
и Озеена члены от вязкости учитывались полностью, тогда как в теории
Прандтля эти члены учитываются лишь частично, так же как и в методе
Рейнольдса для слоя смазки'.
Теория пограничного слоя получила широкое практическое применение и
поэтому её развитие было весьма интенсивным. Эта теория и до настоящего
времени продолжает привлекать внимание многих исследователей.
Для вывода основных уравнений теории пограничного слоя рассмотрим лишь
плоско-параллельное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости
без учёта действия массовых сил. Будем полагать радиус кривизны
рассматриваемой твёрдой стенки (рис. 67)
достаточно большим по сравнению со средним значением 8 толщины
предполагаемого пограничного слоя. Обозначим через х криволинейную
координату, отсчитываемую вдоль рассматриваемой стенки от некоторой
фиксированной на ней точки О, и через у- координату, отсчитываемую по
нормали к стенке.
Дифференциальные уравнения (2.13) главы II переноса количества движения в
