Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра на Основании уравнений Озеена обнаруживается резкое различие
течений впереди и позади цилиндра.-
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
241
§ 5. Задача об обтекании шара
Пользуясь обобщёнными уравнениями Стокса (2.1), рассмотрим )бтекание
безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости не-юдвижного шара с
радиусом а (рис. 65). Движение жидкости пред-юлагаем осесимметричным.
Вводя сферические координаты R и Ь, ia основании рис. 65 будем иметь:
х = R cos Ь, r = /?sinG,
Vr = vx cos Ь -\-vr sm b = vx dR
v^ = - vx sin G -f- vr cos b = - v
dx i dr + (r)r
dR ' dx
)+(r)r
dr
(5.1)
RdbJ 1 r Rdb:
1одставляя выражения (2.23) в (5.1), получим компоненты вектора :корости
в сферических координатах I виде
vR = - у cos Ь -j-
2k dR
+
vb = 7 sin b
1 d7.
df
W'
df
2k RdQ
RdQ
(5.2)
Рис. 65.
"ак как единичный вектор 11 нормали [аправлен по радиусу шара, а
единичный :ектор i.2 касательной направлен перпенди-улярно к этому
радиусу, то, проектируя подинтегральное выраже-. ше (2.22) на ось х,
получим:
df . df .
df
df
df dr _____ df
~dr~dR~ JR
. аким образом, проекция на ось х главного вектора воздействия язкой
несжимаемой жидкости на неподвижный шар будет пред-тавляться в виде
Rx = pU
dS.
(5.3)
Граничные условия на поверхности шара и на бесконечности •удут следующие:
1 дх | df
при R = a vR = - у cos Ь Vr, = 7 sin fj -f-
2k dR
A f- .
dR
1
2k Rdb ' /?<?0
df
= 0;
при R= со vR = U cos fJ,
ъц = - U sin 0.
(5.4)
242 движение пви малых числах Рейнольдса. метод озеена [гл. Vii Полагая
Х = - и+Ул> (5-5)
мы можем удовлетворить условиям (5.4) на бесконечности, если потребуем,
чтобы ул и производные и 4^- обращались на бесконечности в нуль:
при R = со ул - 0, 4&- = 0, ^ - 0. (5.6)
Обратимся теперь к вопросу о построении решений дифференциальных
уравнений (2.4) и (2.10).
Основное решение уравнения Лапласа (2.4), представляющее потенциал
скоростей источника в начале координат, имеет вид
(5-7)
Дифференцируя это решение последовательно по х, получим новые частные
решения
дх'
&). т с."
представляющие собой потенциалы скоростей диполей разных порядков, оси
которых ориентированы вдоль оси симметрии потока. Умножая частные решения
(5.7) и (5.8) на произвольные постоянные и складывая, получим следующее
выражение для функции в:
71 = 00
?=2-ч?()?)- <5-9>
Будем иметь:
д /_1_\ л
71 = 0
COS I
/?2
аА (i) = S - Ж = -1 <5 cos'9 - 3 С0! в)-
(5.10)
Полиномы Лежандра, как известно, определяются равенством
= <5Л1>
Полагая в (5,11) последовательно
п = 0, л=1, п - 2, п - Ъ,
§ 51
получим:
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
1,
243
Я1 = Т, Яа=4(3т!
(5т2
¦1),
¦Зт).
(5.12)
Сопоставляя выражения числителей правых частей (5.10) с правыми частями
(5.12) полиномов Лежандра, мы получаем следующую формулу:
дх n\Rj~K ' Я*+1 '
Таким образом, подставляя (5.13) в (5.9), получим:
(5.13)
п - 'м
(5.14)
Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности в интервале т - -
l(lj=it) и т=1(й = 0), т. е.
+ 1 о
Т Рп (т) Рт (т) dz = - Г Рп (cos 0) Рт (cos 0) sin 0 db = 0 (т ф п).
-1 , (5.15)
Так как
Яо=1,
то из условия ортогональности (5.15) следует, что для всякого п,
отличного от нуля, имеет место равенство
J Рп (cos 0) sin 0 db - 0.
(5.16)
Обратимся теперь к формуле (5.3) для проекции на ось л; силы воздействия
вязкой жидкости на неподвижный шар. Так как элемент поверхности шара на
основании рис. 65 будет равен
dS = а2 sin 0 db da,
то после интегрирования в правой части формулы (5.3) по углу а и
использования равенства (5.14) получим:
ТС
Рх = 2irp Ua2 ^ sin 0 db =
П - OQ *
= -2"p?/a2 У] (- 1)" {П An J Pn (cos 0) sin 6 db. (5.17)
" = 0
244 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [гл. VII
На основании равенства (5.1b,) все слагаемые в правой части (5.17) будут
обращаться в нуль, кроме слагаемого, для которого п - 0. Таким образом,
сила воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижный шар равна
Rx = - 4*PUA0. (5.18)
Следовательно, для определения силы сопротивления жидкости движению шара
необходимо найти лишь коэффициент первого слагаемого ряда (5.14),
пропорциональный мощности источника (5.7).
Обращаясь к дифференциальному уравнению (2.10), заметим, что при
подстановке
ул = el!XY
оно переходит, как это было показано в § 2, в уравнение
ДТ - k2Y =. 0. (5.19)
Найдём вначале основное решение этого уравнения, зависящее только от
сферического радиуса R. Полагая
Y=Y(R),
будем иметь:
dY у' - у"- -L V' (L \
дх~ /?' дх*~ #а)>
AY=Y" + ^rY', а уравнение (5.19) примет вид
Y"-\-^-Y' - k2Y=:0 н
или
*L(YR) - k*YR = 0..
Следовательно,"решение уравнения (5.19), зависящее только от сферического
радиуса, имеет вид
K = i(C1eW" + C^e-w").
Для удовлетворения условий (5.6) на бесконечности необходимо потребовать,
чтобы
Сх = 0.
Таким образом, основное решение, представляющее функцию источника в
начале координат для дифференциального уравнения (5.19), будет иметь вид
§ 5]
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА
245
Дифференцируя основное решение (5.20) по переменному х, получим новые
