Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
части (1.7) можно в слагаемом и 4^- заменить множи-47 дх
тель и на U, а остальными слагаемыми пренебречь. Таким способом мы и
получим дифференциальные уравнения (1.6).
Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциальным
уравнением Стокса (1.4) главы V, мы приходим к заключению, что обобщённые
уравнения Стокса, введённые Озееном, учитывают лишь частично квадратичные
члены инерции.
Если первой ступенью развития приближённых методов использования
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости считать
дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью - дифференциальные
уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать
уже третьей ступенью развития приближённых методов решения отдельных
задач движения вязкой несжимаемой жидкости.
Свои соображения о целесообразности введения новых уравнений вида (1.6)
Озеен построил на основании сравнительной оценки порядка величин
отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к порядку
сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении
шара. В конце § 7 главы V было указано, что если считать число Рейнольдса
меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных
членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком
величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на значительных
расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов
инерции будет уже превышать порядок сохраняемых в уравнениях слагаемых,
зависящих от вязкости, причём наибольшие порядки величин на бесконечном
удалении от шара
- ди dv dw ^
будут иметь как раз слагаемые и ^ , и и и . Следовательно,
сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближённой форме, мы
тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных
квадратичных членов инерции в бесконечно удалённых точках потока.
228 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА (ГЛ. VH
§ 2. Построение решений обобщённых уравнений Стокса
Для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учёта
действия массовых сил обобщённые уравнения Стокса (1.6) представятся в
виде
п ди 1 др .
и -s- - Дц,
дх р дх 1
dv 1 др . .
У37 = -7l§ + 'iv- ,
"а. а>, д > <2'"
и -т- =-------з4- 4- v Дда,
дх р дг 1
ди , dv , dw п
дх'ду'дг
Дифференцируя первое уравнение (2.1) по х, второе - по у, третье - по г,
складывая результаты и учитывая уравнение несжимаемости, получим для
давления дифференциальное уравнение Лапласа
Д/> = 0. (2.2)
Предположим, что вектор скорости V можно представить в виде суммы
потенциального вектора и дополнительного вектора
V = grad<p + V2, (2.3)
причём потенциал скоростей ср удовлетворяет уравнению Лапласа
Дер = 0. (2.4)
Подставляя значение и из (2.3) в первое уравнение (2.1), получим:
Ш {U 51 + f) + U Ш = vДц2-
Так как потенциал скоростей представляет собой пока произвольную
гармоническую функцию, а давление р также является гармонической
функцией, то мы можем связать эти две функции, положив
р = г. (2.5)
При этом предположении и при учёте равенств (2.3) и (2.4)
дифференциальные уравнения (2.1) представятся в виде ди*
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЁННЫХ УРАВНЕНИЙ СТОКСА 229
Введём обозначение
v _ 1
и-'Ш-
(2.7)
Попытаемся удовлетворить дифференциальным уравнениям (2.6), полагая
1 дх v* ~ 2 k ду'
=
3 - 2k дг'
(2.8)
Подставляя выражения (2.8) в три последних уравнения (2.6), по лучим:
-?Ш-жЛх) = °-
ife)+iAx==0-
Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению
(2.9)
дх 2k Х
: 0.
(2.10)
При таком предположении первые два уравнения (2.9) будут удовлетворяться
тождественно, а из последнего получим:
дх ("2_ 2к дх + х) = °'
Этому уравнению мы удовлетворим тождественно, если положим:
(2.11)
I 1
Из=="х+2ге-
При таком представлении скорости иа первое уравнение (2.6) будет также
тождественно удовлетворяться в силу уравнения (2.10).
Таким образом, для некоторых случаев установившегося движе-. ния вязкой
несжимаемой жидкости без учёта массовых сил решения обобщённых
дифференциальных уравнений Стокса можно представить в виде
1
дх | д<?
230 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА [ГЛ. VII
_ 1 (<¦
,>v~ 2 V
(2.13)
где функция (c) удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа (2.4), а
функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10).
Компоненты вихря на основании (2.12) будут иметь вид 1 Idw dv\ n
^=¦2 дГ) = °-
' du dw\ ________ 1 ду
JI~dx)~~ 2"дг'
1 / dv ди \ J_ ду
Шг~ Т\д^~~ 1у)~ ТГ ду '
На основании равенств (2,13) мы приходим к тому заключению, что решения в
форме (2.12) могут иметь место лишь тогда, когда все вихревые линии
располагаются в плоскостях, перпендикулярных к скорости потока па
бесконечности. Для плоско-параллельного и осесимметричного движения
жидкости как раз такое положение вихрей и имеет место. Следовательно, для
этих видов движения вязкой несжимаемой жидкости можно строить решения
обобщённых уравнений Стокса (2.1) в форме (2.12).
