Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Условия прилипания частиц жидкости к поверхности S, ограниченной контуром
1 неподвижного тела, запишутся следующим образом:
у 4" JL л.
'¦ ' 2k дх ' дх
J_ ^ _i_ ii
2k ду ' ду
2k дг^ dz~ компоненты вихря (2.13) на поверхности S
: 0,
о,
(2.14)
2о>,,
(2.15)
В силу условий (2.14) будут равны
JJ_ cty
V dz '
ч ду ' J
В § 4 главы III было показано,, что главный вектор сил воздействия вязкой
несжимаемой жидкости на неподвижное тело при плоскопараллельном и
осесимметричном её движениях представляется в виде
/?=//(- р1г + 2 р."3/.2) dS, (2.16)
в
где 1г - единичный вектор внешней нормали к поверхности S, /2 - единичный
вектор касательной к поверхности S в плоскости
движения частиц жидкости и лярная к плоскости движения,
W,.
-компонента вихря, перпендику-
§ 21
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЁННЫХ УРАВНЕНИЙ СТОКСА
231
Для плоско-параллельного движения вязкой жидкости будем иметь из (2.15):
ду
дг
: 0; на о)3 = в)3=е -
Up д<р ду'
(2.17)
поэтому, используя выражение (2.5) для давления, получим из (2.16) и
(2.17) следующую формулу для главного вектора сил воздействия на плоский
неподвижный контур
R = pl/J (2.18)
п
Для осесимметричного движения жидкости третьей компонентой вихря будет
о>а: О
(r)з - (r)а - ~ o^Sin a~f-o>3cosa, (2.19) Рис. 62.
где а- полярный угол в плоскости yOz (рис. 62). Так как у -г cos я, z - г
sin я; |
ду
дг
cos я,
дг
(2.20)
sin я, f
то из (2.19) и (2.15) получим:
ГаИ Чдг,д^ду\_ U df "(
' a's 2ч\дг дг^дудг j ~ 2чдг'
Таким образом, главный вектор сил воздействия (2.16) на неподвижное тело
при осесимметричном движении вязкой несжимаемой жидкости равен
<222)
дг
Так как на основании рис. 62
Vr - V cos я -f- w sin Я = V -(- w ^, то, подставляя сюда значения v и w
из (2.12), получим:
v
r ~ 2k дг ' дг
Таким образом, для осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости
компоненты скоростей будут:
.. I 1 I д<р
гаг движение при малых числах рейнольдса. метод озеена [гл. vii
Обратимся теперь к дифференциальному уравнению (2.10) Полагая
г - х, у, г), (2.24)
будем иметь:
= (ftУ+в**, Дуг - ekx\Y-\- 2kekxУ.
Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, z
дифференциальное уравнение (2.10) при подстановке (2.24) приводится к
симметричному уравнению Гельмгольца
\У-№У=0. (2.25)
§ 3. Проникание пластинки в вязкую среду
Рассмотрим вначале простейший пример использования обобщённых уравнений
Стокса.
Пусть вязкая несжимаемая среда заполняет полупространство
вниз от неподвижной оси Огу± (рис. 63). В эту среду с момента
^ = 0 начинает врезаться тонкая пластинка с постоянной скоростью U.
Введём связанные с пластинкой подвижные оси координат, начало которых
находится у края пластинки, а положительное направление оси х идёт вверх
и совпадает с направлением самой пластинки. Полные
уравнения абсолютного движения вязкой жидкости по отношению
к подвижным осям представятся в виде (1.3). Отбрасывая в этих
уравнениях: 1) квадратичные члены инерции, 2) локальную производную
от вектора скорости по времени, 3) вектор массовой силы,
получим дифференциальное уравне-
ние в проекции на ось х.
.. ди 1 др . /д3и ,д3и ,д3и\
дх р дх ' vi ду2 I дг2)'
(3.1)
Поскольку движение жидкости вызывается только движением пластинки и на
границе среды 0±у± давление постоянно, то можно принять градиент давления
вдоль оси х равным нулю, т. е.
^ = 0.
дх
(3.2)
Если считать пластинку в то можно положить;
направлении оси г достаточно широкой, ди
дг
= 0.
(3.3)
ПРОНИКАНИЕ ПЛАСТИНКИ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ
233
В пределах погружённой части пластинки изменение компоненты скорости а в
направлении оси у преобладает над изменением этой скорости в продольном
направлении .за исключением, быть может, только края пластинки.
Следовательно, второй производной по х от и можно пренебречь по сравнению
со второй производной от и по у. Тогда из (3.1) получим следующее
дифференциальное уравнение:
ди 1 dfiu________ д%и .
дх 2k ду* п ду*' '
где
"=?. (3.5)
Таким образом, дифференциальное уравнение (3.4) было получено с помощью:
1) частичного учёта квадратичных членов инерции (по Озеену) и 2)
частичного учёта членов вязкости (по Рейнольдсу).
Примем следующие граничные условия: 1) до подхода края пластинки вся
среда пребывает в полном покое, т. е.
при х - - 0 и = 0; (3.6)
2) частицы жидкости прилипают к сторонам пластинки
при л: > 0 у/ = 0, a - U\ (3.7)
3) при удалении от пластинки в сторону по оси у скорость уменьшается до
нуля, в частности,
при у/= со а-0. (3.8)
Дифференциальное уравнение (3.4) совпадает с дифференциальным уравнением
одномерной задачи теплопроводности. Рассматриваемая же задача при
условиях (3.6), (3.7) и (3.8) совпадает формально с задачей нагрева
полубесконечного стержня с конца. Решение этой задачи имеет вид
00 00
(3.9)
V О
3 V то
Вычисляя силу вязкости на пластинке по формуле
ди
х = ''Ту'
получим:
(,) _-----------------------------(3.10)
1 ' У*пх
или, подставляя значение п из (3.5):
<V-.=-W (3-И)
