Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 73

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 170 >> Следующая

sh т]
х = а
У=а-
sln 5
ch Tfj - cos ? ' ch т] - cos ? '
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Исключая из уравнений (6.3) переменное ?, получим: х3 -f-у2 - 2ах cth т)
-)-
-j-а2 = 0. (6.4)
Полагая в левой части т] = const,
получим окружности с ра диусами
а
У М

в( ( А\/Л\ V *
F' О IV F 4 / /
а к /
Рис. 57.
ch h <6-5>
и с центрами, расположенными на оси Ох на расстояниях
I = a cth Tj.
Обозначим через rt и г0 радиусы шипа и подшипника и через и т]2
соответствующие окружностям шипа и подшипника значения параметра т] (рис.
57). Кроме того, положим:
(6.6)
210
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[гл. VI
На основании (6.5) и (6.7) будем иметь:
а =
MshT^ - Hi -rjo),
(6.8)
cth т,л
cth т"
(6.9)
sh k]0
sh = (1 -[- /г) sh -rjo.
Используя обозначение з, получим:
sh (т)0-[-з) = (1 -f- k) sh т1о, sh(fi0 -o) = -
1 k - ch с ¦ sh a '
(1 + fe)chs - 1 (1 -j- k) sh г
На основании предпоследнего равенства (6.9) можно установить, что
параметр а изменяется от 0 до In (1 -/г).
Обозначая через е эксцентриситет шипа и подшипника и через а
отношение у, получим из (6.6), (6.7), (6.8) и (6.9):
_ sh з |
1 sh in0 ' sh -
(6.10)
Полагая
получим из (6.3):
Н
sh Yh - sh т]о J
т=Ш+Ш-1
(ch т| - cos ?).
(6.11)
Тогда компоненты вектора скорости, параллельные касательным к
координатным линиям \ и ц, через функцию тока будут представляться в виде
г дЬ ,,di
= -
Hi- s nn
Граничные условия прилипания и задания значений функций тока на границах
будут иметь вид
при г, = 7)о 4 = 0, Я^ = 0,
при 7] = -Т]1 А :
(6.12)
где Q - секундный расход, a U - скорость точек окружности шипа при его
вращении по часовой стрелке.
§ б] ТЕОРИЯ Н. Е. ЖУКОВСКОГО И С. А. ЧАПЛЫГИНА 211
Так как оператор Лапласа от функции тока ф записывается в виде
д.,. _ н-2 (Щ I _ (ch т| - cos S)2 /<Э2ф . дШ \дР~т~дт\У~ аг
го бигармоническое уравнение (6Л) сводится к уравнению
\д$А~ dWL
(ch т] - cos ?)2 /(?2ф , д2ф'
О?
:0.
(6.13)
Проверкой можно убедиться, что частными решениями уравнения (6.13) будут
следующие функции:
1)
4)
5)
6) 7)
X sh г|
a ch т; - cos ; '
%
Л'2+у2 ,1 ch г.
2а'1 1 2 ch т] - cos ;
А? 4 -_)/2 1 cos S
2 а2 2 ch t] - cos ;
хц __ r| sh -f\
a ch т] - cos ? '
2а: cos ; ch г) _ sh 2r] cos J
а ch г, - cos ? '
jfl+y* 1 | 2a: cos g sh tj
ch т] - cos ? '
(6Л4)
Сумму частных решений, умноженных на произвольные постоянные, можно
представить в виде
ф = 0(т, - Tj0)-
1
_ у;
ch т] - cos ? ^
х {A sh (т; - т]0)-|-5(т] - Tj0)sh г\-\-С cos - [sh (¦: - 2^) - sh а]}
(16.5) или
М
ch т] - cos 5
т N,
где
М = A sh (т| - Yio) (3 (т,-т,0) sh -rt -(- С ch т, [sh (г-2т]) - sh о],
j\J - D (т, - Т|0) - С [sh (г - 2т,) - sh о],
'С = ТЮ + Т11-
(6.16)
(6.17)
Введённые функции М и N обращаются в нуль при т, = т]0, поэтому Для
удовлетворения граничных условий (6.12) достаточно потребо-
212
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[гл. VI
вать выполнения следующих равенств:
/ дМ \
VW
(M)ri
/дМ'
V д
¦О,
:0,
м_\
Ti к'
=0-
V дт> k (АО 41 = -<г.
(^),. = о-
(6.18)
Подставляя в (6.18) значения /VI и N из (6.17), получим следующие
уравнения:
D+2Ccho = 0,
D3 + 2Csho + Q=0,
А -A sh '
fish ri0--}-fi3 sh т.
H
- 2C ch ri0 ch з ¦ 2C ch тц sh з
0,
0,
ail.
(6.19)
A ch o + fi(sh Tjj + з ch f],) - 2C ch (t|1-(- o) =
Решая эти уравнения и используя обозначения (6.7), мы получим значения
для постоянных В, С и расхода Q Urx( 1 +*) sh о
В =
2 С -
Q = 2С(з ch
a - 2(l+*)sho + (l + *)2 з- '
Urx( 1+fe) [g(l+fe)-sha]
Sh a [s - 2 (1 + k) Sh з + (1 -f ft)'* a] '
Urx (a ch a - sh z) [cr (1 -)- k) - sh s] (1 k) [z - 2 (1 + k) sh з -j-
(1 -f kf з] sh a '
-sh з)-
(6.20)
Так как давление и оператор Лапласа от функции тока будут связаны
соотношениями Коши - Римана
1 др д (Дф)
1 др
!А дг.
dtj '
<?(Ч)
dz
то, используя (6.15), получим:
а2 Дф = 2В ch2 Т|0 - 2C(sh о -f- sh 2тю ch з) - 2В cos \ ch т, -f-
-f- 4С cos S sh (т - i}) - 2С cos 21 sh (z - 2т,),
а2~ = -2 В sin I sh т]-4 С sin I ch (t-tj)-)-2 С sin 2?ch (i - 2y]).
(6.21)
Умножая первое равенство (6.21) на i и складывая со вторым, получим:
а2(-^ -)- i Дф^ - 2Bl ch2 ri0 - 2Cl (sh з -j- sh 2f]0 ch з) -
-¦ 2Bi cos (S + ifi) - 4C sin ($~|- it] -/") + 2Csin (2; -f- 2ir, - iz).
(6.22)
§ 6] ТЕОРИЯ Н. Е. ЖУКОВСКОГО И С. А. ЧАПЛЫГИНА 213
Правую часть полученного равенства (6.22) выразим через комплексное
переменное z основной плоскости, т. е. воспользуемся формулой
преобразования (6.2). На основании этой формулы будем иметь:
Z + h _ t 2
Ctg -у- = - t
а
COS (Ч -f- i'l}) =
ctKa 1+il _ 1
g 2 & + Ф
t , 4 + lri , , ~ 22-a'i ctg2 --'2 + 1
2ctg^i
sin ($ + it,) - -
2 iza
¦ 9 5 + lri II 22 - Д2 ' ct§3 " 2 ¦ + 1
Используя эти равенства и проводя преобразования в правой части
(6.22), получим:
р -f- i'ja Лб = 4р.гФ/ (г) = I 2Bi ch2 т]0 - 2 Ci (sh а -|- sh 2т]0 ch а)
-
1 д- ^
- + 16С">"ch ' T?^1F + 2Ci sh , [l - )•
(6.23)
Ha основании формулы (5.13) главы V результирующий вектор воздействия
вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр представляется через
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed