Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычеты функции Ф' (z). Внутри контура окружности шипа содержится лишь
один полюс правой части (6.23) второго порядка в точке z = а. Вычисляя
этот вычет с помощью умножения левой и правой частей на (z - а)2,
однократного дифференцирования правой части и устремления z к а, получим
для вектора результирующего воздействия следующее выражение:
Rx + iRy = _ 4(х J Ф' (г) dz = -g- (- 2Bia) 2ш .
а
т
Таким образом, результирующее давление на шип будет направлено по оси
у, т. е. перпендикулярно к линии наименьшего зазора, и
будет представляться после замены В и а следующей формулой:
_ 4тцхЦ У(1 + 6)2 4-1-2(1+67^
v я[(1+А)2 + 1]-2(1+A)sh(j • 1'
После проведения соответственных вычислений можно получить формулу для
момента действия смазочного слоя относительно оси шипа
I - _ 4ыг Ц g(1 +^)2cthcr -2(1 + 6) cha + 1 ,g 25,
**Рг1и ,[(i+A)a+i]_2(l-(-A)shg • (b-25'
214
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[ГЛ. VI
Равенства (6.24) и (6.25) позволяют определить результирующую силу и
результирующий момент действия смазочного слоя на шип, если, помимо
коэффициента вязкости, окружной скорости и радиусов шипа и подшипника,
будет задано значение параметра а или значение эксцентриситета е,
определяемого через а по первой формуле (6.10). В реальных условиях,
конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина
нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках. Поэтому значение параметра а
должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части.
Обозначая максимальное предельное значение параметра а через а0, т. е.
и считая величину k - отношение средней величины зазора к радиусу шипа -
весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие
приближённые формулы для результирующей силы и результирующего момента:,
где а - параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле
(6.10), а при малых значениях k - по формуле
Случай Н. П. Петрова, рассмотренный в § 1, мы получим, если положим
параметр а равным нулю, тогда
Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы
(1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно
большими.
Допустим, что круглый цилиндр длины I, радиуса R и веса q совершает
чистое качение по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого
вещества с коэффициентом вязкости р. (рис. 58). Выясним зависимость
необходимой силы тяги Q от указанных параметров цилиндра, а также от
толщины слоя Н, коэффициента вязкости р и угловой скорости О),
о0 - In (1 -(- k),
5 (2 + a?) Y 1 - 02 '
(6.26)
(6.28)
§ 7. Качение цилиндра по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества
§ 7] КАЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПО ПЛОСКОСТИ, ПОКРЫТОЙ ВЯЗКИМ ВЕЩЕСТВОМ 215
Применим к той части слоя ABCD, которая в рассматриваемый момент t будет
находиться непосредственно под цилиндром, прибли-
жённые уравнения Рейнольдса
д2и
др_ _ 1х
ду2 '
-? = 0.
ду
ди . дг; ^
(2.16)
(7.1)
_~:Е: .Н~-=Г л
Рис. 58.
Толщину слоя в начале координат, расположенном
на одной вертикали с мгновенным центром качения К, обозначим через h0, а
толщину на расстоянии х от начала - через h. Эта толщина слоя как функция
х будет представляться в виде
h=,h0 + R - VR*- х*.
(7.2)
Обозначим абсциссы крайних точек слоя А и В через - а и Ь. Тогда обычные
граничные условия прилипания и постоянства давления на краях слоя
представятся в виде
при у - 0 и = 0, г> = 0,
при y = h u = a>{h - h0), v =- (ол:,
при х = - а р = 0,
при х = Ь р = 0.
(7.3)
Решая первое уравнение (7.1) и используя граничные условия (7.3) для и,
получим:
V\ hj-
Подставляя значение и из (7.4) в уравнение неразрывности (7.1) и учитывая
граничные условия (7.3) для v, найдём:
др 6<о|х
дх №>
u=h^{yli-~hy)+^
(7.4)
(7.5)
Выражение в скобках в правой части (7.5) может обратиться в нуль при двух
значениях х. Следовательно, в рассматриваемом нами слое давление может
иметь два экстремальных значения, из которых одно будет минимальным, а
второе-максимальным. А так как на краях слоя давление равно нулю, то
наличие минимума давления в слое будет означать наличие отрицательных
давлений внутри слоя. Избежать отрицательных давлений внутри слоя можно,
если ввести дополнительное граничное условие, позволяющее точку минимума
10
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ
[гл. VI
авлений отнести на левый край слоя. Это дополнительное гранич ое условие
будет иметь вид:
др
при х = - а
дх
= 0.
(7.6)
довлетворяя условию (7.6) и проводя интегрирование (7.5), получим
педующее выражение для давления:
Р = 6р(0
1
Y R~ - & + Y R'1 -
№
dx.
с7.7;
роекции вектора результирующего давления слоя на цилиндр и эсцисса точки
его приложения xs будут определяться формулами
* \ pxdx J
Р"=-1
V R2 - X2 '
Ру = I J р dx,
PXR
(7.8;
I К - п'
асательная составляющая вектора напряжения на площадке, направ-пощие
косинусы нормали которой-I и т, будет представляться виде
Pni РпхHI PnyL ipXX Put/) ^ ~I- Рху Р)'
рассматриваемом нами случае имеем:
1=-$, т:
R
1т;
R
, т^- Р ди
