Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
ппопогшиональна толшине смазанного слоя.
На основании экспериментов и последующего развития теории было
установлено, что основные зависимости, полученные Н. П. Петровым,
соответствуют тому предельному случаю, при котором шип совершает большое
число оборотов и несёт на себе сравнительно
§ 2] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ 193
малую нагрузку,- В этом предельном случае ось шипа действительно мало
отклоняется от оси подшипника, и этим отклонением можно пренебречь. В
обычных же условиях работы подшипников ось шипа не совпадает с осью
подшипника. Эксцентричное расположение шипа в подшипнике приводит к
образованию той поддерживающей силы, которая уравновешивает нагрузку на
вал, вращающийся в подшипниках. Теория смазочного слоя при эксцентричном
расположении шипа в подшипниках была развита Н. Е. Жуковским и С. А.
Чаплыгиным.
§ 2. Приближённые уравнения Рейнольдса для смазочного слоя
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое между
приблизительно параллельными поверхностями, радиусы кривизн которых
достаточно велики по сравнению со средней толщиной слоя 5 (рис. 52).
Пренебрегая кривизной первой поверхности, обозначим: через х
криволинейную координату, отсчитываемую вдоль первой поверхности в
направлении скорости Ux точек этой поверхности, через z криволинейную
координату, отсчитываемую также вдоль этой поверхности, но в направлении,
перпендикулярном к указанной скорости Uv и через у координату,
отсчитываемую по
нормали к рассматриваемой поверхности. Проекции вектора скорости точек
второй поверхности на касательную и на нормаль к этой поверхности
обозначим через U2 и V2. Чтобы средняя толщина слоя оставалась малой во
всё время движения, необходимо положить поперечную скорость V2 весьма
малой по сравнению со скоростью Ux. Обозначим отношение этих двух
скоростей через е, т. е.
3.
Ui
(2.1)
Пусть / обозначает среднее значение радиусов кривизн равсматриваемых
поверхностей. На основании указанного выше предположения толщина слоя 8
должна считаться малой по сравнению со средним радиусом кривизн /.
Отношение этих величин также обозначим через е:
з.
(2.2)
Если предполагать движение вязкой несжимаемой жидкости" установившимся и
пренебрегать действием массовых сил, то дифференциальные уравнения
переноса количества движения (2.13) главы II
194 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ [ГЛ. VI
в проекциях на введённые прямолинейные оси координат предста-
вятся в виде
37 (Pwx - Р"2) + 37 О** ~ (ft* - Р^и) = О,
Pav)+j^(Pv"-P(r)*)+3j(A*-р"ю) = 0, (2.3)
37 О(r),-ре "0+ зу (Руг - pvw)+37 (/>" - ртг>2) = 0.
К этим уравнениям присоединим уравнение несжимаемости
?+?+?=о <2-4)
и соотношения, выражающие обобщённую гипотезу Ньютона:
*
. о да (dv , ди \
Р-\-Ър дх , р^у - ]>
Р" = -Р + Ъ%, />* = ,. (2"+?), } (2.5)
а.=,(?+?).
Вместо размерных координат и скоростей введём безразмерные с учётом того,
что порядок координаты и скорости в направлении нормали к первой
поверхности мал по сравнению с порядком координат w скоростей в других
направлениях:
X = lxv у = 8^, z = lzlt и = Uxup v = V2vu w
= &i. \
=Uxw 1. ]
(2.6)
Подставляя эти выражения координат и скоростей в уравнение (2.4)
несжимаемости, получим:
I _^2 ( *11 д^ - п /О 74
дхх + Ux Ь дух + ~дгх - ' 7>
Если предполагать, что все слагаемые в полученном уравнении
несжимаемости будут иметь один и тот же порядок величины, то
необходимо положить:
3.J-- 1
Ux 5
Полученное равенство оправдывает наше предположение (2.2) о том, что
порядок отношения скоростей совпадает с порядком отношения толщины слоя к
величине среднего радиуса кривизны рассматриваемых поверхностей.
Характерное число Рейнольдса введём следующим образом:
R = "7"' <2'8)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ 195
При рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости между параллельными
стенками в § 3 главы IV было установлено, что средняя скорость частиц
жидкости прямо пропорциональна перепаду давления и квадрату расстояния
между стенками и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости.
Следовательно, величина самого давления будет находиться в обратной
зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы это
учесть, заменим размерное давление р через безразмерное р1 следующим
образом:
о-^Ып = *и\
82 R*2 Pi-
(2.9)
(2.10)
Соотношения (2.5), выражающие обобщённую гипотезу Ньютона, в безразмерных
величинах будут представляться в виде
А-^(-й+*5ё) = Й(-Л + "Й).
__[xUxl( , о"Ми>Л_ рЦ\( ,
Ргг~ 5а \ Pl+2 It dzj ~~ Re2 [ Pl~T~2a dz1)'
_ fJ.iT, (dui . 8 dt/Л _ PU\ (dut , о dvx \
Px* - I Wi-!- ?/i I dxj- eR Uv,"!- dXi)>
_lxU1(dwl , V2 8 dvx\ _ pU\tdwx . "США P*- Ъ Vdyi"T Uj_ I dzj- eR Uyi-1-
dzj'
pUi (dui . ддаЛ pLfj /dux , дтоД
гх t' U^i дхх) R U^i dxx) '
Подставляя в уравнения движения (2.3) значения координат и скоростей
(2.6) и напряжений (2.10), получим:
4(-ft+^E'-RsS"?)+sf;(fe+!,fe-RsSv.)+
:f!4S+'J5j;-R^'"')]+35;(-''>+2!,S-R*4)+
+^[-a(^+'^-RM]=0' ;Ий+&-*л)]+?(?+*й-"'Н+
