Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
движения шарика в жидкости.
Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной
жидкости обратим движение, т. е. на всю жидкость и на шар наложим
поступательное движение в направлении, обратном движению шара, функция
тока которого представляется в виде
= (7Л9)
*) Гатчек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, стр. 52.
182 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
то, складывая функцию с функцией ^(7.12), получим решение задачи об
обтекании неподвижного шара неограниченным потоком вязкой жидкости:
Примерный вид линий тока, отвечающих функции тока (7.20) относительного
движения жидкости, показан на рис. 47. Линии тока, отвечающие абсолютному
движению жидкости, представляемому функ-
цией тока (7.12), показаны на
)-
мулах (7.12) и (7.20) для функции тока выражения sin'2 6 имеет место
симметрия линий тока по отношению к диаметральной плоскости,
перпендикулярной к основной скорости движения.
Подставляя в выражение (7.20) для функции тока
Используя соотношения (12.1) главы IV, получим выражения для компонент
скорости в цилиндрических координатах
На основании полученных решений (7.20) можно произвести сравнительную
оценку порядка величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по
отношению к тем слагаемым, которые были сохранены в уравнениях движения.
Так, например, в дифференциальном уравнении, отвечающем сферическому
радиусу R, было отброшено
vB = - 2Ucos V = u sine(i_g--^).
(7.20)
Рис. 47.
Рис. 48.
R sin Й = г,
получим функцию тока в цилиндрических координатах
(7.21)
(7.22)
ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
183
dvR
слагаемое рvr которое на основании (7.20) будет представляться
в виде
dvB 3 " cos2 6 / лЪ\ / За а3 \
Ж = '2раУ {7Ж)
В этом же уравнении было сохранено слагаемое ^a~fln q > обусловленное
вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно
1^ = % = _ Зар.(У ^. (7.24)
R2 sm 8 д8 dR r R3 v '
Составляя отношение модулей левых и правых частей (7.23) и (7.24),
получим:
v °Vr
Vr 1r
др
dR
1 apU 3a a2 -4-2a? аЬ V П
a l005^1 -2R - R*+&~ 2&)' (7'25)
На основании полученного равенства (7.25) мы заключаем, что даже при
R = -~ < 1 (7.26)
Г*
порядок отбрасываемых квадратичных членов инерции мал по сравнению с
сохранёнными членами в уравнениях Стокса не во всех точках области,
занятой жидкостью. Вблизи поверхности сферы выражение в скобке (7.25)
обращается в нуль, и поэтому отбрасывание квадратичных членов инерции в
уравнениях движения до некоторой степени приближения может считаться
справедливым, но на значительных расстояниях от сферы отбрасывание
квадратичных членов с точки зрения проведённой оценки (7.25) нельзя
считать вполне законным. Обратим внимание на то, что высказанные
заключения о возможности отбрасывания квадратичных членов инерции
основаны на сравнительной оценке порядка лишь отдельных слагаемых,
вычисленных после решения приближённых уравнений Стокса. Поэтому эти
заключения нельзя рассматривать как абсолютный критерий применимости
приближённых уравнений Стокса. Критерием возможности использования
приближённых уравнений Стокса могут служить только результаты
эксперимента, результаты сравнения вычисленных значений, например силы
сопротивления шара, с результатами непосредственного её измерения. На
основании многочисленных экспериментов установлено, что формула Стокса
(7.17) может считаться законной для чисел Рейнольдса, меньших половины.
lOt ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
§ 8. Вращение шара в вязкой жидкости
Приближённые дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения
несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах согласно соотношениям
(7.1) главы IV будут представляться в виде
др
дг
др г ду др
Г*
V,.
JL
d<f
г*
2
dv,.
dz
dvr v. ¦ + -r
рДт;г
дг
+•
1 dv,"
г* dtp
)•
dv.
ду
дг
: 0.
(8.1)
Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами
на оси г, т. е.
•yr==0, vz = 0. (8.2)
При этом предположении из уравнения несжимаемости (8.1) будем иметь
dv
"3? = 0- (8-3)
Если считать давление, р не зависящим от ср, то для единственной
компоненты скорости v<? получим из (8.1) следующее дифференциальное
уравнение:
(8.4)
Учитывая выражение (6.12) главы II оператора Лапласа в сферических
координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в
виде
d'2v" .
dv,"
1
/?2 (592 ctg 9 dv,.
_ t- - 0. (8.5)
п /?а <59 Z?2Sin2 9 v '
Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с
постоянной угловой скоростью ю вокруг оси z (рис. 49). Напишем условие
прилипания частиц жидкости к поверхности шара:
при/? = а Vy = юг = ю a sin 9.
(8-6)
§ 8] ВРАЩЕНИЕ ШАРА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 185
Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости
обращается в нуль:
при R = оо v9 = 0, (8.7)
Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение
дифференциального уравнения (8.5) в виде
v4 = sin 0/(/?). (8.8)
Подставляя значение из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное диф-
