Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
внутренней стороны не одним замкнутым контуром, а п замкнутыми контурами,
то число логарифмических членов в выражениях (4.9) функций Ф (г) и х' (г)
может быть равно числу контуров, т. е.
к-п
Ф (г) = Ф* (г) -f 2 ("fc + lh) In (г - zk), k=l k=n
у/ (г) = x'* (*) + 2 ~ %) In (г - **)¦
k=l
(4.10)
Возьмём теперь окружность Г достаточно большого радиуса, охватывающую
собой все рассматриваемые замкнутые контуры. Тогда для всякой точки г,
находящейся вне этой окружности, будем иметь:
1п (г - г0) = 1пг-)- 1п^1 - у j - =
lnz-
fo_
г
¦№J
Следовательно, для точек вне окружности Г равенства (4.10) представятся в
виде
Ф(*)= Ф~(*) + (во + /р0)1п*,
X'(*) = *' (*) + ("О - *Ро) In г,
к-п
а0 ¦+¦ - S "I"
к=1
(4.11)
где Ф*' и х' за исключением
представляют собой голоморфные функции вне окружности, [,_быт? можёт,
самой бесконечно удалённой то
точки. По теореме
I 41 ПАРАДОКС СТОКСА 167
лорана эти функции вне окружности будут представляться
следующими
рядами:
+ СО +оо
Ф" (*) = 2 X'" W = S <*"• (4.12)
- ОО -оо
Потребуем теперь, чтобы давление было ограниченной функцией во всей
области. На основании (2.8), (4.11) и (4.12) для давления будем иметь:
+°°
Р == Ро + 2(х/ _ ар ^ п (anzn-1 _ an>-t)J .
Для ограниченности величины давления для точек вне окружности необходимо
положить:
ап = 0, ап = О для л> 2. (4.13)
При выполнении этого условия первое равенство (4.11) можно представить
в виде
Ф (*) = ФО (,) + (а0 + /?о) in * + (Л, + IBJ z, (4.14)
где функция Фо (г) является голоморфной вне окружности, включая
и бесконечно удалённую точку. Используя выражение (4.14) и
вторые равен-
ства (4.11) и (4.12), получим для скорости (2.6) выражение
и -(- lv = - / {Ф° (z) -f- (oq -f- /Ро) In-л + (А± -f- IB]) z +
+oo
+ z |ф'° (z) + aJ^h. + + _ iBl] + (oo + zp0) In Г+ 2 anin]. (4.15)
- 00
Для выполнения требования ограниченности скоростей во всей области вне
окружности необходимо положить:
2Ау = 0, +, = 0 (л>1), "ц> + *Ро= 2* (<*.* +*Р*) ==¦<"¦ <4Л6)
к=1
При выполнении этих условий формула (4.14) для Ф(г) и вторая формула
(4.11) для t! (z) будут представляться в виде
Ф (z) = Фо (z) + IBjZ, х' <*) = Х/0 (*). (4-17)
где функции Ф°(г) и у'0 (г) будут функциями, голоморфными вне
рассматриваемой окружности Г достаточно большого радиуса, включая и
бесконечно удалённую точку.
Переходя к непосредственному доказательству парадокса Стокса, обратимся к
уравнениям (2.2). Умножая первое уравнение на и, а второе на v и
складывая, получим:
др 1 др I dbty
ud7 + vW = nu-W-v-dT)'
К левой части этого равенства прибавим выражение
/ ди , dv\
168 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА, МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
а в правой части вынесем знаки дифференцирования за скобки. Тогда
получим:
-gj (Р") + (Pv) = Р (и Дф) - ^ (v - р. (Дф)3,
ИЛИ
Р (¦Дф)2 = ( - ра - Р" Дф) + + Р" Дф)- (4.18)
Обе части равенства (4,18) умножим на dx dy и проинтегрируем по всей
области S, ограниченной с внешней стороны окружностью Г, а с внутренней
стороны совокупностью п замкнутых контуров. Так как в скобках в правой
части (4.19) находятся однозначные функции, то можно использовать обычные
формулы преобразования интеграла по площади в интеграл по всей ей
границе. В результате всего этого получим;
Р J" J* (Дф)3 dx dy =
s
- J [(-/>" - Р^ Дф) cos (n, x)-\- (- pv -j- ри Дф) cos (n, y] ds =
L + Г
= Г [ - P ("dy - vdx) - p Дф {udx + vdy)], (4.19) z+г
где через L ооозначена вся совокупность п внутренних контуров. Мы
отыскиваем решение бигармонического уравнения для функции тока ф при
условии обращения скоростей и и v в нуль на бесконечности, поэтому
интеграл по контуру Г окружности безгранично увеличивающегося
радиуса в правой
части (4,19) можно положить равным нулю. На каждом внутреннем контуре
совокупности L должно выполняться условие прилипания, т, е.
и = U = const, v = 0.
Учитывая все эти условия, равенство (4,19) можно представить в виде
Р J J (Дф)3 dxdy = - U |* (р dy + р Дф dx). (4.20)
S L
На основании (2.9) будем иметь;
{p-\-tр Дф) {dx -f- i dy) = 4р№' (г) dz, р dy + р Дф dx = Im {4 рМ [Ф
(г)]>.
Используя последнее равенство, из (4.20) получим;
' {^? dx dy = \т { - AUi Г <*[Ф (*)]}. (4.21)
Я'
Функция Ф(г), представляемая первым равенством (4.10), при полном обходе
контура номера k получает приращение
("ft +. lh) 2ял
При однократном обходе всех п контуров приращение этой функции будет
равно
к=п
к-1
ГЛАВА IX
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся
течении вязкой жидкости
Будем считать жидкость несжимаемой, т. е.
и будем полагать траектории всех частиц прямолинейно-параллельными, т. е.
Пр1й этих трёх предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь:
а дифференциальные уравнения движения (ЮЛ) главы II представятся в виде
На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит
от переменных у и z. Если при этом учесть (1.1), то в первом уравнении
(1.2) слагаемые, содержащие и, будут зависеть от переменных у, z и t,
