Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой выражение перепада давления в цилиндрической трубе.
Следовательно, множитель в скобке выражения (9.11) есть первая поправка в
перепаде давления на конусность трубы.
Выражение (9.6) для функции тока может быть использовано также и для
решения задачи о движении вязкой жидкости между двумя соосными
конусами1).
(9.10)
Полагая, наконец,
Я0о = а, ./?9 = л,
получим:
(9.11)
!) С л ё з к и н Н. А., Движение вязкой жидкости в конусе и между двумя
конусами, Матем. сборник, т. 42, № 1, 1935.
ГЛАВА VI
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ § 1. Теория Н. П. Петрова
В предшествующей главе рассмотрены отдельные задачи на применение тех
приближённых дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, которые
получаются из полных дифференциальных уравнений при отбрасывании всех
квадратичных членов инерции, но при полном сохранении всех слагаемых,
обусловленных вязкостью. Следующую ступень развития приближённых методов
теории движения вязкой жидкости составили дифференциальные уравнения,
получающиеся из полных при отбрасывании всех квадратичных членов инерции
и при отбрасывании лишь отдельных слагаемых, обусловленных вязкостью.
Толчком к развитию именно второго приближённого метода использования
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости послужила весьма
важная техническая проблема смазки в машинах.
Основателем так называемой гидродинамической теории смазки является
известный русский учёный и инженер Н. П. Петров1). В своей основной
работе, посвящённой вопросам смазки, Н. П. Петров много внимания уделил
доказательству возможности использования самой гипотезы Ньютона о силе
вязкости. В этой же работе он дал решение задачи для того случая, когда
поверхности шипа и подшипника приняты за поверхности соосных круглых
цилиндров. Для проверки своих теоретических заключений Н. П. Петров
произвёл большое количество опытов. Эти опыты не только подтвердили
основные положения его теории, но и много способствовали выяснению
вопросов, которые возникли в то время в связи с использованием
минеральных масел.
Задача о круговом движении частиц вязкой жидкости между двумя
вращающимися соосными цилиндрами была рассмотрена нами в § 8 главы III
при условии полного прилипания жидкости к стенкам. В работе же Н. П.
Петрова эта задача решалась при условии частич-
1) П е т р о в Н. П., Трение в машинах и влияние на него смазывающей
жидкости, сборник "Гидродинамическая теория смазки", ГТТИ, 1934.
§ i)
ТЕОРИЯ H. П. ПЕТРОВА
191
ного скольжения жидкости вдоль стенок, т. е. при граничном условии (7.4)
главы II:
Рп -Рпп - ^ (У*-----
Вкратце воспроизведём это решение.
Пусть мы имеем два соосных цилиндра, вращающихся с угловыми скоростями ш1
и о).2 (рис. 51). Предполагая, что траектории всех частиц суть
концентрические окружности и единственная компонента скорости не зависит
от продольной координаты z, получим следующее дифференциальное уравнение
движения:
, 1 dv,. v,r
f-J -Ч. ? = 0 П 11
dr2 ^ г dr г2 u '
Общее решение уравнения (1.1) может быть представлено в виде
(1.2)
С2
v<f = C1r + -
Касательное напряжение, вычисленное по фор-муле !
Ргч
К дг
будет в рассматриваемом случае (1.2) иметь ВИД 2 цС2
Prif
гг
(1.3)
Обозначим коэффициенты внешнего трения через и Я2.' Тогда условия
частичного скольжения на поверхности рассматриваемых цилиндров, согласно
которым произведение коэффициента внешнего трения на разность скоростей
точек цилиндров и соприкасающихся частиц жидкости равно касательной
компоненте напряжения, будут представляться в виде
М(r)!* -Ю6] = (лД, \
Я2[о)2а - (wv)j =(prv)a. J
Подставляя значения из (1.2) и prf из (1.3), получим уравнения для
определения постоянных С2 и С2:
Cl+Ca(j! - $¦)=
откуда
•2*
'Сг
Со
"'<"1-4,'+2Kv+v) '
a3b3 (со2 - <о2)
(1.5)
192 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СмАЗКЙ [гл. VI
Так как на элемент поверхности внутреннего цилиндра действует сила
(рГ9)ьЬс*? = -2у.^, (1.6)
момент которой относительно оси цилиндра равен
(Prf)b^d<f = - 2]LC.2d<f,
то полный момент сил вязкости, распределённых по всей поверхности
внутреннего цилиндра с длиной Н, будет представляться в виде
am (cbj - ш2)
Lz = ~ 4ярЛ
ab(a2-b*) + 2r(?- + j-]J W
Полагая внешний цилиндр неподвижным, в>2 = 0, и обозначая
а - b = h,
после разложения в правой части (1.7) по степеням h и сохранения
слагаемых лишь в первой степени, получим формулу для момента в виде
L
' ft+f+f (1'8)
Л1 2
где S представляет собой величину площади поверхности внутреннего
цилиндра. Под силой трения F двух смазанных цилиндров в работе Н. П.
Петрова подразумевается отношение момента Lz к радиусу цилиндра:
F - Smib
Ь A+f + f (L9)
A1 K2
Формула (1.9) представляет собой окончательную формулу Н. П. Петрова для
силы трения при смазке. Предполагая коэффициенты внешнего трения и Х2
достаточно большими, из (1.9) получим формулу для силы трения смазки в
предположении полного прилипания частиц жидкости к стенкам
F = V.2j?. (1.10)
На основании этой формулы можно заключить, что сила трения обратно
