Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциального уравнения (7.1) в виде
4 = sin 2HF(R). (7.8)
Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса, получим:
?>4> = sin-* 0 (f"-^ f) = sin2 Hf(R). (7.9)
Вычисляя ещё раз оператор Стокса и обращаясь к дифференциальному
уравнению (7.1), получим обыкновенное уравнение для функции /
/"-т{г/ = о.
Проверкой можно убедиться, что общее решение этого уравнения имеет вид
f = AR* + -§-.
Подставляя значение / в (7.9), получим:
F" - ±F = AR* + f. (7.10)
Составляя решение полученного дифференциального уравнения (7.10) для F из
общего решения однородного уравнения и частных реше-
через функцию тока будет представляться в виде
" == - 2/? sin 0 D^'
При решении задачи о поступательном движении принимать условие прилипания
к поверхности
при /г = 0 ^ = _^_|i=t/Cos0,
vb= - - U sin °-
0 У? sin 0 dR
§ 7]
ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
179
ний, отвечающих каждому слагаемому правой части (7.10), получим:
= 4 Ri ~ J BR + CR2+li'
Таким образом, для функции тока и компонент скорости будем иметь:
sin2 0 AR* - I BR+ СД2 + ,
VR-
1
dll' sin 0 d0 1
= 2 cos О
AR2-
R sin I
)¦
|t = -smO(f^-A + 2c_").
(7.11)
Чтобы удовлетворить условиям (7.7) на бесконечности, необходимо положить:
А = 0, С = 0.
Используя граничные условия (7.6), получим уравнения
В 2D _ ..
а дз "
В + = -
2а
аз
Из этих уравнений будем иметь:
3
В = -
Ua, D ¦¦
¦¦ j- Uab.
4
Подставляя найденные значения всех постоянных в (7.11), получим решения
рассматриваемой задачи для функции тока и скоростей в виде
Н-тг)'
vB = ±U COS0(f-^),
(r). = -T^sinO(-| + -J).
(7.12)
Так как оператор Стокса от функции тока равен
В sina 0
Яф:
то из уравнения (7.3) будем иметь:
dp = |х? ^
2 cos 0 -j-
sin 0 db
R2 1 7?
Следовательно, для давления будет иметь место следующая формула:
. 3 ,, cos Е
Р = Ро~\~ ~2 ~~Rz~
(7.13)
dw
дг
180 ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА [ГЛ. V
Для определения результирующего сопротивления жидкости движению шара
обратимся к общим формулам, установленным в§ 4. главы 111. В
рассматриваемом нами случае интегральная формула для проекции Рг
результирующего воздействия жидкости на шар представится в виде
pz = j J(- ^cos0 + p.-^-)fi?5, (7.14)
s
где w - составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии. Для
этой составляющей скорости и её производной по радиусу R будем иметь:
О . о 1 <?Ф cos 0 . 1 дф
= VR cos 0_г,9 sin 0 = __4L__+
2/1 cos 0\ , cos 0 д /дф \ I 1 / 1 дф \ I 1 д2ф _
" W \F д0 iiiTT) дв \dR) R\ R dR) R фф -
2 и 1 1 -о 1 cos 0 д . , оч 1 1 д2Ф
= cos 0 -j- Vfj sin 0 sin 9)+^.
Учитывая граничные условия (7.6), получим:
I dw \ 217 cos2 0 t/ sin3 0 cos 0 . . й , .
U? )e = Г- 5 Ш 2U sm 9 cos 0) +
+ 1W -_^sin26 + IW
^ а\д Ф)а- а 'а \д/?2/а
На основании выражения (7.12) для функции тока будем иметь:
Следовательно,
(ж)0=-тт5|"ав- <7'15>
Подинтегральное выражение (7.14) при использовании выражения для давления
(7.13) и для производной от осевой компоненты скорости (7.15) можно
представить в виде
/?cos9 + p,-^ = -/?0cos9 -(7.16)
Результирующая от постоянного давления р0 по замкнутой поверх ности будет
равна нулю, Т. е.
J J cos 0й?5= 0,
ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
181
поэтому, подставляя выражение (7.16) в (7.14) и учитывая, что
J J dS = 4 тса2,
s
получим:
Pz - - 6it\LaU. (7.17)
Равенство (7.17) представляет собой формулу Стокса для сопротивления шара
при его движении в неограниченной вязкой жидкости. Согласно этой формуле
сопротивление движению шара пропорционально коэффициенту вязкости,
радиусу шара и скорости движения в первой степени. Формула Стокса (7.17)
для сопротивления шара получена при условии отбрасывания в уравнениях
движения вязкой несжимаемой жидкости квадратичных членов инерции, поэтому
она может считаться справедливой только при сравнительно малых значениях
чисел Рейнольдса. Тем не менее, эта формула находит себе широкое
применение. В частности, она широко используется 3 коллоидной химии, в
молекулярной физике и метеорологии. Пользуясь этой формулой, можно
определять скорость осаждения мелких капель тумана, коллоидных частиц,
частиц ила и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара
(7.17) равнодействующей сил от гидростатического давления (архимедовой
силе), получим следующую формулу для предельной скорости падения шарика
малых размеров в вязкой жидкости:
^ = (7Л8>
где р' представляет собой плотность вещества шарика, а р - плотность
рассматриваемой жидкости.
Формула Стокса используется также и для определения коэффициента вязкости
сильно вязких жидкостей 1). Вискозиметр, основанный на принципе падения
тяжёлого шарика, состоит из трубки с делениями. Время падения шарика от
одного фиксированного деления трубки до другого определяется
секундомером. Найденное таким способом значение скорости можно подставить
в формулу (7.18) и определить соответственное значение коэффициента
вязкости. При более точном определении коэффициента вязкости на этом
приборе необходимо учесть поправки на радиус трубки и на нестационарность
